Упр.18.4 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

• а) $$\log_{5}(x)>\log_{5}(3x-4);$$
  б) $$\log_{0,6}(2x-1)<\log_{0,6}(x);$$
  в) $$\log_{\frac{1}{3}}(5x-9)\geq\log_{\frac{1}{3}}(4x);$$
  г) $$\log_{3}(8-6x)\leq\log_{3}(2x).$$

а) Так как основание логарифма $$5>1,$$ то функция $$\log_5 x$$ возрастает, значит

$$x>3x-4.$$

Одновременно должны выполняться условия области определения:

$$x>0,\qquad 3x-4>0.$$

Решаем неравенство:

$$x>3x-4 \;\Rightarrow\; -2x>-4 \;\Rightarrow\; x<2.$$

Из ОДЗ получаем:

$$x>\frac{4}{3}.$$

Пересечение условий:

$$x\in\left(\frac{4}{3};\,2\right).$$

б) Основание $$0{,}6<1,$$ поэтому логарифмическая функция убывает, и знак неравенства меняется:

$$2x-1>x.$$

Кроме того,

$$2x-1>0,\qquad x>0.$$

Решаем неравенство:

$$2x-1>x \;\Rightarrow\; x>1.$$

Это условие уже удовлетворяет ОДЗ, значит

$$x\in(1;\,+\infty).$$

в) Так как основание $$\frac13<1,$$ то знак неравенства меняется:

$$5x-9\le 4x.$$

ОДЗ:

$$5x-9>0,\qquad 4x>0.$$

Решаем:

$$5x-9\le 4x \;\Rightarrow\; x\le 9.$$

Из ОДЗ:

$$x>\frac95.$$

Следовательно,

$$x\in\left(\frac95;\,9\right].$$

г) Основание $$3>1,$$ значит функция возрастает, поэтому

$$8-6x\le 2x.$$

ОДЗ:

$$8-6x>0,\qquad 2x>0.$$

Решаем неравенство:

$$8-6x\le 2x \;\Rightarrow\; 8\le 8x \;\Rightarrow\; x\ge 1.$$

Из ОДЗ:

$$x<\frac43,\qquad x>0.$$

Итак,

$$x\in\left[1;\,\frac43\right).$$

Ответ

а) $$x\in\left(\frac43;\,2\right);$$ б) $$x\in(1;\,+\infty);$$ в) $$x\in\left(\frac95;\,9\right];$$ г) $$x\in\left[1;\,\frac43\right).$$