Упр.18.39 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$\log_x 2 \cdot \log_{2x} 2 \cdot \log_2(4x)>1$$; б) $$\log_x 5 \cdot \log_{5x} 5 \cdot \log_5(625x)<1$$.

а) Рассмотрим неравенство

$$\log_x 2 \cdot \log_{2x} 2 \cdot \log_2 4x>1.$$

Перейдём к логарифмам по основанию $$2$$:

$$\frac{\log_2 2}{\log_2 x}\cdot \frac{\log_2 2}{\log_2 2+\log_2 x}\cdot \frac{\log_2 4+\log_2 x}{\log_2 2}>1.$$

Так как $$\log_2 2=1$$, получаем

$$\frac{2+\log_2 x}{\log_2 x\,(1+\log_2 x)}>1.$$

Пусть $$y=\log_2 x$$. Тогда

$$\frac{2+y}{y(1+y)}>1,$$

$$\frac{2+y-y(1+y)}{y(1+y)}>0,$$

$$\frac{2-y^2}{y(1+y)}>0,$$

$$\frac{(\sqrt2-y)(\sqrt2+y)}{y(1+y)}>0.$$

Отсюда

$$-\sqrt2<y<-1 \quad \text{или} \quad 0<y<\sqrt2.$$

Возвращаясь к переменной $$x$$, получаем:

$$-\sqrt2<\log_2 x<-1 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{2^{\sqrt2}}<x<\frac12,$$

$$0<\log_2 x<\sqrt2 \quad \Rightarrow \quad 1<x<2^{\sqrt2}.$$

Итак,

$$x\in\left(\frac{1}{2^{\sqrt2}};\frac12\right)\cup\left(1;2^{\sqrt2}\right).$$

б) Рассмотрим неравенство

$$\log_x 5 \cdot \log_{5x} 5 \cdot \log_5 625x<1.$$

Перейдём к логарифмам по основанию $$5$$:

$$\frac{\log_5 5}{\log_5 x}\cdot \frac{\log_5 5}{\log_5 5+\log_5 x}\cdot \frac{\log_5 625+\log_5 x}{\log_5 5}<1.$$

Так как $$\log_5 5=1$$ и $$\log_5 625=4$$, имеем

$$\frac{4+\log_5 x}{\log_5 x\,(1+\log_5 x)}<1.$$

Пусть $$y=\log_5 x$$. Тогда

$$\frac{4+y}{y(1+y)}<1,$$

$$\frac{4+y-y(1+y)}{y(1+y)}<0,$$

$$\frac{4-y^2}{y(1+y)}<0,$$

$$\frac{(y+2)(y-2)}{y(1+y)}<0.$$

Решаем методом интервалов:

$$y<-2,\quad -1<y<0,\quad y>2.$$

Возвращаясь к переменной $$x$$, получаем:

$$\log_5 x<-2 \Rightarrow 0<x<\frac1{25},$$

$$-1<\log_5 x<0 \Rightarrow \frac15<x<1,$$

$$\log_5 x>2 \Rightarrow x>25.$$

Следовательно,

$$x\in\left(0;\frac1{25}\right)\cup\left(\frac15;1\right)\cup(25;+\infty).$$

Ответ

а) $$x\in\left(\frac{1}{2^{\sqrt2}};\frac12\right)\cup\left(1;2^{\sqrt2}\right);$$

б) $$x\in\left(0;\frac1{25}\right)\cup\left(\frac15;1\right)\cup(25;+\infty).$$