Упр.18.38 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Пусть $$y=\log_3(-x).$$ Тогда область определения: $$-x>0,\quad x<0.$$

а)

Имеем

$$\log_3 x^2+\log_3^2(-x)<2.$$

Так как при $$x<0$$ выполняется $$x^2=(-x)^2,$$ то

$$\log_3 x^2=\log_3(-x)^2=2\log_3(-x)=2y.$$

Тогда неравенство принимает вид

$$2y+y^2<2,$$

$$y^2+2y-2<0.$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-2)=12,$$

$$y_{1,2}=\frac{-2\pm\sqrt{12}}{2}=-1\pm\sqrt{3}.$$

Следовательно,

$$-1-\sqrt{3}<y<-1+\sqrt{3}.$$

Возвращаясь к переменной $$x,$$ получаем

$$-1-\sqrt{3}<\log_3(-x)<-1+\sqrt{3}.$$

Так как основание логарифма $$3>1,$$ то

$$3^{-1-\sqrt{3}}<-x<3^{-1+\sqrt{3}}.$$

Умножая на $$-1$$ и меняя знаки неравенств, получаем

$$-3^{-1+\sqrt{3}}<x<-3^{-1-\sqrt{3}}.$$

б)

Рассмотрим неравенство

$$\log_4 x^2+\log_2^2(-x)>6.$$

При $$x<0$$ имеем $$x^2=(-x)^2,$$ поэтому

$$\log_4 x^2=\log_4(-x)^2=\log_2(-x).$$

Пусть

$$y=\log_2(-x).$$

Тогда

$$y+y^2>6,$$

$$y^2+y-6>0,$$

$$(y+3)(y-2)>0.$$

Отсюда

$$y<-3 \quad \text{или} \quad y>2.$$

1) Если $$\log_2(-x)<-3,$$ то

$$-x<2^{-3}=\frac18,$$

$$x>-\frac18.$$

2) Если $$\log_2(-x)>2,$$ то

$$-x>2^2=4,$$

$$x<-4.$$

С учётом области определения $$x<0$$ получаем

$$x\in(-\infty;-4)\cup\left(-\frac18;0\right).$$

Ответ

а) $$x\in\left(-3^{-1+\sqrt3};-3^{-1-\sqrt3}\right);$$

б) $$x\in(-\infty;-4)\cup\left(-\frac18;0\right).$$