Упр.18.37 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

• а) $$\log_4(x+12)\cdot\log_x 2\le 1$$; б) $$1+\log_x 5\cdot\log_7 x>\log_5 35\cdot\log_x 5$$.

а) $$\log_4(x+12)\cdot \log_x 2\le 1.$$

Преобразуем логарифм:

$$\log_x 2=\frac{\log_4 2}{\log_4 x}=\frac{1}{2\log_4 x}.$$

Тогда

$$\log_4(x+12)\cdot \frac{1}{2\log_4 x}\le 1,$$

$$\log_4(x+12)\le 2\log_4 x,$$

$$\log_4(x+12)\le \log_4 x^2.$$

С учётом области определения $$x>0,\;x\ne 1,$$ получаем:

если $$0<x<1,$$ то функция $$\log_4 t$$ возрастает, значит

$$x+12\le x^2,$$

$$x^2-x-12\ge 0,$$

$$(x-4)(x+3)\ge 0.$$

С учётом $$0<x<1$$ решений нет.

Если $$x>1,$$ то

$$x+12\le x^2,$$

$$x^2-x-12\ge 0,$$

$$(x-4)(x+3)\ge 0,$$

откуда $$x\ge 4.$$

Итак,

$$x\in [4;+\infty).$$

б) $$1+\log_x 5\cdot \log_7 x>\log_5 35\cdot \log_x 5.$$

Переходим к натуральным логарифмам:

$$1+\frac{\ln 5}{\ln x}\cdot \frac{\ln x}{\ln 7}>\frac{\ln 35}{\ln 5}\cdot \frac{\ln 5}{\ln x}.$$

После сокращения получаем:

$$1+\frac{\ln 5}{\ln 7}>\frac{\ln 35}{\ln x}.$$

Так как $$\ln 35=\ln 5+\ln 7,$$ то

$$\frac{\ln 7+\ln 5}{\ln 7}>\frac{\ln 7+\ln 5}{\ln x}.$$

Поскольку $$\ln 7+\ln 5>0,$$ делим на это число:

$$\frac{1}{\ln 7}>\frac{1}{\ln x}.$$

Приведём к одной дроби:

$$\frac{\ln x-\ln 7}{\ln 7\cdot \ln x}>0.$$

Область определения: $$x>0,\;x\ne 1.$$

Рассмотрим случаи:

1. Если $$0<x<1,$$ то $$\ln x<0$$ и $$\ln 7>0,$$ значит неравенство выполняется.
2. Если $$x>1,$$ то знаменатель положителен, и нужно, чтобы $$\ln x-\ln 7>0,$$ то есть $$x>7.$$

Итак,

$$x\in (0;1)\cup (7;+\infty).$$