Упр.18.36 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\log_2 x+1\ge 2\log_x 2$$;
б) $$2\log_x 5-3<-\log_5 x$$.

Положим $$y=\log_2 x.$$ Тогда область определения: $$x>0,\quad x\ne 1.$$

Решим неравенство:

$$\log_2 x+1\ge 2\log_x 2.$$

Так как $$\log_x 2=\dfrac{1}{\log_2 x}=\dfrac{1}{y},$$ получаем

$$y+1\ge \frac{2}{y}.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$y+1-\frac{2}{y}\ge 0,$$

$$\frac{y^2+y-2}{y}\ge 0,$$

$$\frac{(y+2)(y-1)}{y}\ge 0.$$

Исследуем знак дроби. Критические точки: $$y=-2,\; y=0,\; y=1.$$

Тогда

$$y\in[-2;0)\cup[1;+\infty).$$

Возвращаясь к переменной $$x$$, получаем:

$$-2\le \log_2 x<0 \quad \Rightarrow \quad \frac14\le x<1,$$

$$\log_2 x\ge 1 \quad \Rightarrow \quad x\ge 2.$$

Следовательно,

$$x\in\left[\frac14;1\right)\cup[2;+\infty).$$

Ответ

$$x\in\left[\frac14;1\right)\cup[2;+\infty).$$