Упр.18.35 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$\log_{\frac{1}{2}}\log_{\frac{1}{3}}\left(\frac{1}{27}+\frac{2\sin x}{27}\right)<-1$$;
   б) $$\log_3\log_4(96+64\cos x)\geqslant 1$$.

а) Обозначим

$$t=\log_{\frac13}\left(\frac{1+2\sin x}{27}\right).$$

Тогда неравенство принимает вид

$$\log_{\frac12} t<-1.$$

Так как основание $$\frac12<1,$$ то знак неравенства меняется:

$$t&gt{\left(\frac12\right)}^{-1}=2.$$

Получаем

$$\log_{\frac13}\left(\frac{1+2\sin x}{27}\right)>2.$$

Так как основание $$\frac13<1,$$ снова меняем знак:

$$\frac{1+2\sin x}{27}<\left(\frac13\right)^2=\frac19.$$

Отсюда

$$1+2\sin x<3,$$

$$2\sin x<2,$$

$$\sin x<1.$$

Но нужно учесть область определения:

$$\frac{1+2\sin x}{27}>0,$$

$$1+2\sin x>0,$$

$$\sin x>-\frac12.$$

Итак,

$$-\frac12<\sin x<1.$$

Следовательно,

$$x\in\left(-\frac{\pi}{6}+2\pi n;\frac{\pi}{2}+2\pi n\right)\cup\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n;\frac{7\pi}{6}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

б) Обозначим

$$t=\log_4(96+64\cos x).$$

Тогда

$$\log_3 t\ge 1.$$

Так как основание $$3>1,$$ получаем

$$t\ge 3.$$

Значит,

$$\log_4(96+64\cos x)\ge 3.$$

Так как основание $$4>1,$$ имеем

$$96+64\cos x\ge 4^3=64.$$

Отсюда

$$64\cos x\ge -32,$$

$$\cos x\ge -\frac12.$$

Проверим область определения:

$$96+64\cos x>0,$$

$$\cos x>-\frac32,$$

что выполняется при всех $$x\in\mathbb R.$$

Следовательно,

$$x\in\left[-\frac{2\pi}{3}+2\pi n;\frac{2\pi}{3}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x\in\left(-\frac{\pi}{6}+2\pi n;\frac{\pi}{2}+2\pi n\right)\cup\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n;\frac{7\pi}{6}+2\pi n\right),\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$x\in\left[-\frac{2\pi}{3}+2\pi n;\frac{2\pi}{3}+2\pi n\right],\ n\in\mathbb Z.$$