Упр.18.34 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- $$\log_{x^2-3}(729)>3$$
- $$\log_{10-x^2}\left(\frac{16}{5}x-x^2\right)<1$$
- $$\log_{\frac{x-1}{x+5}}(0{,}3)>0$$
- $$\log_{4-x}(x^2-10)<2$$
а) Рассмотрим неравенство $$\log_{x^2-3}729>3.$$
Для логарифма нужно:
$$x^2-3>0,\qquad x^2-3\ne 1.$$
Так как $$729=3^6,$$ то при основании $$x^2-3>1$$ получаем
$$729>(x^2-3)^3,$$
а при $$0<x^2-3<1$$ знак неравенства меняется:
$$729<(x^2-3)^3.$$
Удобнее решить через сравнение с числом $$3$$:
$$\log_{x^2-3}729>3 \iff \begin{cases}x^2-3>1,\\ 729>(x^2-3)^3,\end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases}0<x^2-3<1,\\ 729<(x^2-3)^3.\end{cases}$$
Во втором случае решений нет, так как $$0<x^2-3<1$$ не может дать $$729<(x^2-3)^3.$$
В первом случае:
$$x^2-3>1 \iff x^2>4 \iff x<-2 \text{ или } x>2,$$
и одновременно
$$729>(x^2-3)^3 \iff 9>x^2-3 \iff x^2<12 \iff -2\sqrt3<x<2\sqrt3.$$
Пересечение даёт
$$x\in(-2\sqrt3,-2)\cup(2,2\sqrt3).$$
б) Решим неравенство $$\log_{10-x^2}\left(\frac{16}{5}x-x^2\right)<1.$$
Для основания логарифма:
$$10-x^2>0,\qquad 10-x^2\ne 1.$$
Для аргумента:
$$\frac{16}{5}x-x^2>0.$$
Так как $$1=\log_{10-x^2}(10-x^2),$$ то неравенство равносильно совокупности:
$$\begin{cases} 0<10-x^2<1,\\ \frac{16}{5}x-x^2>10-x^2 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} 10-x^2>1,\\ \frac{16}{5}x-x^2<10-x^2 \end{cases}$$
1) Если $$0<10-x^2<1,$$ то
$$9<x^2<10 \iff 3<|x|<\sqrt{10}.$$
Из условия
$$\frac{16}{5}x-x^2>10-x^2$$
получаем
$$\frac{16}{5}x>10 \iff x>\frac{25}{8}.$$
Значит, здесь
$$x\in\left(\frac{25}{8},\sqrt{10}\right).$$
2) Если $$10-x^2>1,$$ то
$$x^2<9 \iff -3<x<3.$$
Из условия
$$\frac{16}{5}x-x^2<10-x^2$$
получаем
$$\frac{16}{5}x<10 \iff x<\frac{25}{8}.$$
Тогда
$$x\in(-3,3).$$
С учётом области определения итог:
$$x\in(-3,3)\cup\left(\frac{25}{8},\sqrt{10}\right).$$
в) Решим неравенство $$\log_{\frac{x-1}{x+5}}0{,}3>0.$$
Для основания логарифма:
$$\frac{x-1}{x+5}>0,\qquad \frac{x-1}{x+5}\ne 1.$$
Так как $$0<0{,}3<1,$$ то при основании $$a>1$$ имеем $$\log_a 0{,}3<0,$$ а при $$0<a<1$$ — $$\log_a 0{,}3>0.$$
Значит, нужно
$$0<\frac{x-1}{x+5}<1.$$
Решим систему:
$$\frac{x-1}{x+5}>0 \iff x<-5 \text{ или } x>1,$$
$$\frac{x-1}{x+5}<1 \iff \frac{x-1-(x+5)}{x+5}<0 \iff \frac{-6}{x+5}<0 \iff x>-5.$$
Пересечение даёт
$$x\in(1,+\infty).$$
г) Решим неравенство $$\log_{4-x}(x^2-10)<2.$$
Для основания логарифма:
$$4-x>0,\qquad 4-x\ne 1.$$
Для аргумента:
$$x^2-10>0.$$
Так как $$2=\log_{4-x}(4-x)^2,$$ то при $$4-x>1$$ получаем
$$x^2-10<(4-x)^2,$$
а при $$0<4-x<1$$ знак меняется:
$$x^2-10>(4-x)^2.$$
1) Если $$3<x<4,$$ то
$$x^2-10<(4-x)^2,$$
$$x^2-10<16-8x+x^2,$$
$$8x<26,$$
$$x<\frac{13}{4}.$$
Значит,
$$x\in\left(3,\frac{13}{4}\right).$$
2) Если $$x<3,$$ то
$$x^2-10>(4-x)^2,$$
$$x^2-10>16-8x+x^2,$$
$$8x>26,$$
$$x>\frac{13}{4},$$
что невозможно при $$x<3.$$
С учётом области определения остаётся
$$x\in\left(-\infty,-\sqrt{10}\right)\cup\left(\sqrt{10},\frac{13}{4}\right).$$
Ответ
а) $$x\in(-2\sqrt3,-2)\cup(2,2\sqrt3);$$ б) $$x\in(-3,3)\cup\left(\frac{25}{8},\sqrt{10}\right);$$ в) $$x\in(1,+\infty);$$ г) $$x\in\left(-\infty,-\sqrt{10}\right)\cup\left(\sqrt{10},\frac{13}{4}\right).$$
