Упр.18.33 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

• а) $$\log_{\cos x}\sqrt{\frac{3}{2}}\geq 1$$;
  в) $$\log_{\sin x}\frac{1}{2}\geq 1$$;
  б) $$\log_{\sin x}1\leq 2$$;
  г) $$\log_{\cos x}\frac{1}{2}\leq 2$$.

а) $$\log_{\cos x}\frac{\sqrt{3}}{2}\ge 1.$$

Так как основание логарифма должно удовлетворять условиям $$\cos x>0,\quad \cos x\ne 1,$$ то при $$0<\cos x<1$$ функция $$\log_{\cos x} t$$ убывает. Поэтому неравенство равносильно

$$\frac{\sqrt{3}}{2}\le \cos x.$$

Отсюда

$$-\frac{\pi}{6}+2\pi n\le x\le \frac{\pi}{6}+2\pi n.$$

С учётом области определения исключаем точки $$x=2\pi n,$$ где $$\cos x=1.$$ Тогда

$$x\in\left[-\frac{\pi}{6}+2\pi n;\,2\pi n\right)\cup\left(2\pi n;\,\frac{\pi}{6}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$\log_{\sin x}1\le 2.$$

При любом допустимом основании $$\log_{\sin x}1=0,$$ поэтому неравенство выполняется всегда, когда логарифм определён.

Область определения:

$$\sin x>0,\quad \sin x\ne 1.$$

Значит,

$$2\pi n<x<\pi+2\pi n,\quad x\ne \frac{\pi}{2}+2\pi n.$$

Итак,

$$x\in(2\pi n;\,\frac{\pi}{2}+2\pi n)\cup\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\pi+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

в) $$\log_{\sin x}\frac12\ge 1.$$

Для существования логарифма нужно:

$$\sin x>0,\quad \sin x\ne 1.$$

При $$0<\sin x<1$$ логарифмическая функция убывает, поэтому

$$\frac12\le \sin x.$$

Тогда

$$\frac{\pi}{6}+2\pi n\le x\le \frac{5\pi}{6}+2\pi n.$$

Исключаем точку $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$ где $$\sin x=1.$$ Получаем

$$x\in\left[\frac{\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right)\cup\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{6}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$

г) $$\log_{\cos x}\frac12<2.$$

Так как $$\frac12=\cos^2\frac{\pi}{4},$$ то при допустимых значениях основания неравенство равносильно системе

$$\begin{cases} 0<\cos x<1,\\ \frac12>\cos^2 x. \end{cases}$$

Отсюда

$$0<\cos x<\frac{\sqrt2}{2}.$$

Следовательно,

$$-\frac{\pi}{2}+2\pi n<x<-\frac{\pi}{4}+2\pi n$$

или

$$\frac{\pi}{4}+2\pi n<x<\frac{\pi}{2}+2\pi n.$$

Значит,

$$x\in\left(-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,-\frac{\pi}{4}+2\pi n\right)\cup\left(\frac{\pi}{4}+2\pi n;\,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x\in\left[-\frac{\pi}{6}+2\pi n;\,2\pi n\right)\cup\left(2\pi n;\,\frac{\pi}{6}+2\pi n\right],\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$x\in(2\pi n;\,\frac{\pi}{2}+2\pi n)\cup\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\pi+2\pi n\right),\ n\in\mathbb Z.$$

в) $$x\in\left[\frac{\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right)\cup\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{6}+2\pi n\right),\ n\in\mathbb Z.$$

г) $$x\in\left(-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,-\frac{\pi}{4}+2\pi n\right)\cup\left(\frac{\pi}{4}+2\pi n;\,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right),\ n\in\mathbb Z.$$