Упр.18.32 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) $$\log_{x-2}(2x-3)>\log_{x-2}(24-6x)$$; б) $$\log_{2x-1}(3x-5)<\log_{2x-1}(15-7x)$$.
а) Рассмотрим неравенство $$\log_{x-2}(2x-3) > \log_{x-2}(24-6x).$$
Для основания логарифма нужно:
$$x-2>0,\quad x-2\ne 1,$$
то есть $$x>2,\quad x\ne 3.$$
Для существования логарифмов требуется:
$$2x-3>0,\quad 24-6x>0,$$
откуда
$$x>\frac32,\quad x<4.$$
Значит, область допустимых значений:
$$x\in(2;4),\quad x\ne 3.$$
Теперь учитываем основание логарифма:
- если $$x>3,$$ то $$x-2>1,$$ и знак неравенства сохраняется;
- если $$2<x<3,$$ то $$0<x-2<1,$$ и знак неравенства меняется.
1) При $$2<x<3$$ получаем
$$2x-3<24-6x,$$
$$8x<27,$$
$$x<\frac{27}{8}.$$
С учётом $$2<x<3$$ имеем $$x\in(2;3).$$
2) При $$3<x<4$$ получаем
$$2x-3>24-6x,$$
$$8x>27,$$
$$x>\frac{27}{8}.$$
С учётом $$3<x<4$$ имеем $$x\in\left(\frac{27}{8};4\right).$$
б) Рассмотрим неравенство $$\log_{2x-1}(3x-5)<\log_{2x-1}(15-7x).$$
Для основания логарифма нужно:
$$2x-1>0,\quad 2x-1\ne 1,$$
то есть
$$x>\frac12,\quad x\ne 1.$$
Для существования логарифмов:
$$3x-5>0,\quad 15-7x>0,$$
откуда
$$x>\frac53,\quad x<\frac{15}{7}.$$
Значит, ОДЗ:
$$x\in\left(\frac53;\frac{15}{7}\right),\quad x\ne 1.$$
Так как на ОДЗ всегда $$x>1,$$ то основание $$2x-1>1,$$ и знак неравенства сохраняется:
$$3x-5<15-7x,$$
$$10x<20,$$
$$x<2.$$
С учётом ОДЗ получаем
$$x\in\left(\frac53;2\right).$$
Ответ
а) $$x\in(2;3)\cup\left(\frac{27}{8};4\right);$$ б) $$x\in\left(\frac53;2\right).$$
