Упр.18.31 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$\log_x\sqrt{21-4x}>1$$; б) $$\log_x\left(\frac{x+3}{x-1}\right)>1$$.

а) Рассмотрим неравенство $$\log_x \sqrt{21-4x}>1.$$

Область определения:

$$21-4x>0,\quad x>0,\quad x\ne 1.$$

Отсюда $$x<\frac{21}{4}.$$

Рассмотрим два случая.

1. Если $$0<x<1,$$ то функция $$\log_x t$$ убывает, поэтому

   $$\log_x \sqrt{21-4x}>1 \iff \sqrt{21-4x}<x.$$

   Так как при $$0<x<1$$ правая часть меньше 1, а левая неотрицательна, получаем

   $$21-4x<x^2,$$

   $$x^2+4x-21>0,$$

   $$\left(x+7\right)\left(x-3\right)>0.$$

   Отсюда $$x<-7$$ или $$x>3,$$ что не подходит при $$0<x<1.$$

2. Если $$x>1,$$ то функция $$\log_x t$$ возрастает, значит

   $$\log_x \sqrt{21-4x}>1 \iff \sqrt{21-4x}>x.$$

   Тогда

   $$21-4x>x^2,$$

   $$x^2+4x-21<0,$$

   $$\left(x+7\right)\left(x-3\right)<0,$$

   откуда $$-7<x<3.$$

   С учётом $$x>1$$ получаем $$1<x<3.$$

Итак, $$x\in(1;3).$$

б) Рассмотрим неравенство $$\log_x \frac{x+3}{x-1}>1.$$

Область определения:

$$\frac{x+3}{x-1}>0,\quad x>0,\quad x\ne 1.$$

Из условия $$\frac{x+3}{x-1}>0$$ получаем $$x<-3$$ или $$x>1.$$

Так как $$x>0,$$ остаётся $$x>1.$$

При $$x>1$$ логарифмическая функция возрастает, поэтому

$$\log_x \frac{x+3}{x-1}>1 \iff \frac{x+3}{x-1}>x.$$

Так как $$x-1>0,$$ умножим на $$x-1$$:

$$x+3>x(x-1),$$

$$x+3>x^2-x,$$

$$x^2-2x-3<0,$$

$$\left(x+1\right)\left(x-3\right)<0.$$

Отсюда $$-1<x<3.$$

С учётом $$x>1$$ получаем $$1<x<3.$$

Итак, $$x\in(1;3).$$

Ответ

а) $$x\in(1;3)$$; б) $$x\in(1;3).$$