Упр.18.30 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$\log_{3x-1}16<2$$; б) $$\log_{x-2}27<3$$.

Рассмотрим каждое неравенство отдельно.

а)

$$\log_{3x-1}16<2$$

Для логарифма основание должно удовлетворять условиям:

$$3x-1>0,\quad 3x-1\ne 1.$$

Кроме того, при основании $$3x-1>1$$ логарифмическая функция возрастает, поэтому

$$16<(3x-1)^2.$$

Решим систему:

$$\begin{cases} 3x-1>1,\\ 16<(3x-1)^2. \end{cases}$$

Из первого неравенства получаем:

$$x>\frac23.$$

Из второго:

$$(3x-1)^2>16 \\ 3x-1>4 \quad \text{или} \quad 3x-1<-4.$$

Так как $$3x-1>1,$$ подходит только

$$3x-1>4,\quad x>\frac53.$$

Теперь рассмотрим случай $$0<3x-1<1.$$ Тогда основание меньше 1, и знак неравенства меняется:

$$16>(3x-1)^2.$$

Но при $$0<3x-1<1$$ имеем $$0<(3x-1)^2<1,$$ значит $$16>(3x-1)^2$$ выполняется автоматически. Тогда

$$0<3x-1<1,$$

откуда

$$\frac13<x<\frac23.$$

Итак,

$$x\in\left(\frac13;\frac23\right)\cup\left(\frac53;+\infty\right).$$

б)

$$\log_{x-2}27<3$$

Область допустимых значений:

$$x-2>0,\quad x-2\ne 1.$$

Рассмотрим два случая.

1) Если $$0<x-2<1,$$ то логарифмическая функция убывает, и неравенство равносильно

$$27>(x-2)^3.$$

Так как при $$0<x-2<1$$ правая часть меньше $$1,$$ а $$27>1,$$ это условие выполняется. Значит,

$$2<x<3.$$

2) Если $$x-2>1,$$ то функция возрастает, и получаем

$$27<(x-2)^3.$$

Отсюда

$$x-2>3,\quad x>5.$$

Следовательно,

$$x\in(2;3)\cup(5;+\infty).$$

Ответ

а) $$x\in\left(\frac13;\frac23\right)\cup\left(\frac53;+\infty\right);$$ б) $$x\in(2;3)\cup(5;+\infty).$$