Упр.18.29 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

18. 18.29. Решите неравенство:
    а) $$\log_{5x-1} 2 \le 0$$;
    в) $$\log_{2-3x} 5 > 0$$;
    б) $$\log_{3x+4} 0{,}2 > 0$$;
    г) $$\log_{5-x} 0{,}3 \le 0$$.

Рассмотрим каждое неравенство отдельно.

1. $$\log_{5x-1} 2 \le 0$$

   Так как $$2>1,$$ то для логарифма с основанием $$a>1$$ имеем $$\log_a 2>0,$$ а при $$0<a<1$$ — $$\log_a 2<0.$$

   Чтобы $$\log_{5x-1} 2 \le 0,$$ нужно, чтобы основание удовлетворяло

   $$0<5x-1<1.$$

   Решаем двойное неравенство:

   $$0<5x-1<1 \\\\ 1<5x<2 \\\\ \frac15<x<\frac25$$

2. $$\log_{3x+4} 0{,}2 > 0$$

   Так как $$0<0{,}2<1,$$ то логарифм положителен тогда и только тогда, когда $$0<3x+4<1.$$

   Получаем:

   $$0<3x+4<1 \\\\ -4<3x<-3 \\\\ -\frac43<x<-1$$

3. $$\log_{2-3x} 5 > 0$$

   Так как $$5>1,$$ то для положительности логарифма нужно, чтобы основание было больше 1:

   $$2-3x>1.$$

   Тогда

   $$2-3x>1 \\\\ -3x>-1 \\\\ x<\frac13$$

   При этом условия области определения выполняются: $$2-3x>0.$$

4. $$\log_{5-x} 0{,}3 \le 0$$

   Так как $$0<0{,}3<1,$$ то неравенство $$\log_{5-x} 0{,}3 \le 0$$ выполняется при основании $$5-x>1.$$

   Решаем:

   $$5-x>1 \\\\ x<4$$

Ответ: а) $$x\in\left(\frac15;\frac25\right);$$ б) $$x\in\left(-\frac43;-1\right);$$ в) $$x\in\left(-\infty;\frac13\right);$$ г) $$x\in(-\infty;4).$$