Упр.18.28 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- Найдите наибольшее целое решение неравенства:
а) $$\log_{4}\left(\sqrt{x}-1\right)+\log_{\frac{1}{4}}\left(\sqrt{x}+1\right)<\log_{\frac{1}{4}}\left(\sqrt{x}+2\right);$$ б) $$\log_{\pi}\left(\sqrt[3]{x}-5\right)+\log_{\frac{1}{\pi}}\left(\sqrt[3]{x}+1\right)<\log j--\log_{\pi}\left(\sqrt[3]{x}+1\right).$$
а) Область определения:
$$\sqrt{x}-1>0,\qquad \sqrt{x}+1>0,\qquad \sqrt{x}+2>0.$$
Отсюда $$x>1.$$
Преобразуем неравенство:
$$\log_4(\sqrt{x}-1)+\log_{\frac14}(\sqrt{x}+1)<\log_{\frac14}(\sqrt{x}+2).$$
Так как $$\log_{\frac14} t=-\log_4 t,$$ получаем
$$\log_4(\sqrt{x}-1)-\log_4(\sqrt{x}+1)<-\log_4(\sqrt{x}+2).$$
$$\log_4\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}<\log_4\frac1{\sqrt{x}+2}.$$
Основание $$4>1,$$ значит
$$\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}<\frac1{\sqrt{x}+2}.$$
Так как $$\sqrt{x}+1>0,\ \sqrt{x}+2>0,$$ умножим на положительное выражение $$\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}+2\right):$$
$$\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)<\sqrt{x}+1.$$
$$x+\sqrt{x}-2<\sqrt{x}+1,$$
$$x-3<0,$$
$$x<3.$$
С учётом ОДЗ:
$$1<x<3.$$
Наибольшее целое решение: $$2.$$
б) Область определения:
$$\sqrt[3]{x}-5>0,\qquad \sqrt[3]{x}+1>0.$$
Отсюда $$x>125.$$
Преобразуем неравенство:
$$\log_{\pi}(\sqrt[3]{x}-5)+\log_{\frac1\pi}(\sqrt[3]{x}+1)<\log_{\frac1\pi}\frac13-\log_{\pi}(\sqrt[3]{x}+1).$$
Так как $$\log_{\frac1\pi} t=-\log_{\pi} t,$$ получаем
$$\log_{\pi}(\sqrt[3]{x}-5)-\log_{\pi}(\sqrt[3]{x}+1)<\log_{\pi}3-\log_{\pi}(\sqrt[3]{x}+1).$$
$$\log_{\pi}\frac{\sqrt[3]{x}-5}{\sqrt[3]{x}+1}<\log_{\pi}\frac3{\sqrt[3]{x}+1}.$$
Так как $$\pi>1,$$ имеем
$$\frac{\sqrt[3]{x}-5}{\sqrt[3]{x}+1}<\frac3{\sqrt[3]{x}+1}.$$
Умножим на положительное $$\sqrt[3]{x}+1$$:
$$\sqrt[3]{x}-5<3,$$
$$\sqrt[3]{x}<8,$$
$$x<512.$$
С учётом ОДЗ:
$$125<x<512.$$
Наибольшее целое решение: $$511.$$
Ответ
а) $$2$$; б) $$511$$.
