Упр.18.27 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Найдите наибольшее целое решение неравенства:
   а) $$2\log_5\left(\sqrt{12-x}+1\right)>\log_{\frac{1}{5}}\left(\frac{1}{15-x}\right);$$
   б) $$2\log_{0,5}\left(\sqrt{2x+1}\right)-\log_{0,5}(4-x)<\log_2\left(3^{\frac{1}{2}-\log_4(2)}\right).$$

а) Область определения:

$$12-x\ge 0,\qquad 15-x>0.$$

Так как $$\log_5$$ — возрастающая функция, а $$\log_{\frac15}$$ — убывающая, получаем:

$$2\log_5(\sqrt{12-x}+1)>\log_{\frac15}\frac1{15-x}$$

$$\log_5(\sqrt{12-x}+1)^2>\log_5(15-x)$$

$$\left(\sqrt{12-x}+1\right)^2>15-x.$$

Раскроем скобки:

$$12-x+2\sqrt{12-x}+1>15-x$$

$$2\sqrt{12-x}>2$$

$$\sqrt{12-x}>1$$

$$12-x>1$$

$$x<11.$$

С учётом ОДЗ: $$x<11$$ и $$x<12$$, значит $$x<11$$.

Наибольшее целое решение: $$10$$.

б) Область определения:

$$2x+1>0,\qquad 4-x>0,$$

то есть

$$x>-\frac12,\qquad x<4.$$

Преобразуем неравенство:

$$2\log_{0,5}\sqrt{2x+1}-\log_{0,5}(4-x)<\log_2\left(3^{\frac12-\log_4 2}\right).$$

Так как $$\log_4 2=\frac12,$$ то

$$\log_2\left(3^{\frac12-\log_4 2}\right)=\log_2 1=0.$$

Тогда

$$2\log_{0,5}\sqrt{2x+1}-\log_{0,5}(4-x)<0.$$

Используем свойство $$2\log_{0,5}\sqrt{2x+1}=\log_{0,5}(2x+1)$$:

$$\log_{0,5}(2x+1)-\log_{0,5}(4-x)<0$$

$$\log_{0,5}\frac{2x+1}{4-x}<0.$$

Так как основание $$0{,}5<1,$$ то логарифм меньше нуля, когда его аргумент больше $$1$$:

$$\frac{2x+1}{4-x}>1.$$

Решаем:

$$2x+1>4-x$$

$$3x>3$$

$$x>1.$$

С учётом ОДЗ получаем:

$$1<x<4.$$

Наибольшее целое решение: $$3$$.

Ответ

а) $$10$$; б) $$3$$.