Упр.18.26 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Сколько целочисленных решений имеет неравенство:
   а) $$\log_{2}\left(\frac{1}{6-x}\right)<\log_{0,5}(x^2);$$ б) $$0,25\log_{\sqrt[4]{3}}(x+6)\leq\log_{3}(6-x^2);$$ в) $$0,5\log_{\sqrt{2}}(x^2-6x+24)\leq\log_{8}(2x+9)^3;$$ г) $$\log_{3}\left(\frac{-x^2+10x}{9}\right)^{-1}+\log_{\frac{1}{3}}(9)\geq 0?$$

а) $$\log_2\frac{1}{6-x}\le \log_{0,5}x^2.$$

Так как $$\log_{0,5}x^2=-\log_2x^2,$$ получаем

$$\log_2\frac{1}{6-x}\le -\log_2x^2 \;\Longrightarrow\; \log_2\frac{1}{6-x}\le \log_2\frac{1}{x^2}.$$

При одинаковом основании $$2>1$$ сравниваем аргументы:

$$\frac{1}{6-x}\le \frac{1}{x^2} \;\Longrightarrow\; x^2\le 6-x.$$

Тогда

$$x^2+x-6\le 0 \;\Longrightarrow\; (x+3)(x-2)\le 0,$$

откуда $$-3\le x\le 2.$$

Область определения:

$$x^2>0,\quad 6-x>0,\quad x\ne 0,\quad x<6.$$

Целые решения на отрезке $$[-3;2]$$, кроме $$0$$: $$-3,-2,-1,1,2.$$ Их $$5$$.

б) $$0{,}25\log_{\sqrt[4]{3}}(x+6)\le \log_3(6-x^2).$$

Так как $$0{,}25=\frac14$$ и $$\log_{\sqrt[4]{3}}(x+6)=4\log_3(x+6),$$ то

$$\log_3(x+6)\le \log_3(6-x^2).$$

При основании $$3>1$$ сравниваем аргументы:

$$x+6\le 6-x^2 \;\Longrightarrow\; x^2+x\le 0 \;\Longrightarrow\; x(x+1)\le 0.$$

Отсюда $$-1\le x\le 0.$$

Область определения:

$$x+6>0,\quad 6-x^2>0.$$

Целые решения: $$-1,0.$$ Их $$2$$.

в) $$0{,}5\log_{\sqrt2}(x^2-6x+24)\le \log_8(2x+9)^3.$$

Преобразуем логарифмы:

$$0{,}5\log_{\sqrt2}(x^2-6x+24)=\log_2(x^2-6x+24),$$

$$\log_8(2x+9)^3=\log_2(2x+9).$$

Тогда

$$\log_2(x^2-6x+24)\le \log_2(2x+9).$$

При основании $$2>1$$:

$$x^2-6x+24\le 2x+9 \;\Longrightarrow\; x^2-8x+15\le 0.$$

$$x^2-8x+15=(x-3)(x-5),$$ поэтому

$$3\le x\le 5.$$

Область определения выполняется при всех $$x$$, так как $$x^2-6x+24>0$$ для любых $$x$$, а $$2x+9>0$$ на найденном промежутке.

Целые решения: $$3,4,5.$$ Их $$3$$.

г) $$\log_3\left(-x^2+\frac{10x}{9}\right)^{-1}+\log_{\frac13}9\ge 0.$$

Так как $$\log_{\frac13}9=-2,$$ получаем

$$\log_3\left(-x^2+\frac{10x}{9}\right)^{-1}\ge 2=\log_3 9.$$

При основании $$3>1$$:

$$\left(-x^2+\frac{10x}{9}\right)^{-1}\ge 9.$$

Так как аргумент логарифма положителен, то

$$-x^2+\frac{10x}{9}>0.$$

Из неравенства с обратной величиной:

$$\frac{1}{-x^2+\frac{10x}{9}}\ge 9 \;\Longrightarrow\; 1\ge 9\left(-x^2+\frac{10x}{9}\right),$$

$$9x^2-10x+1\ge 0.$$

$$9x^2-10x+1=(9x-1)(x-1),$$ значит

$$x\le \frac19 \quad \text{или} \quad x\ge 1.$$

С учётом области определения

$$-x^2+\frac{10x}{9}>0 \;\Longrightarrow\; x\left(\frac{10}{9}-x\right)>0 \;\Longrightarrow\; 0<x<\frac{10}{9},$$

получаем единственное целое решение $$x=1.$$

Ответ: а) $$5$$; б) $$2$$; в) $$3$$; г) $$1$$.