Упр.18.25 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
а) $$-\frac{1}{4}\log_{\frac{1}{\sqrt{7}}}(7x+5)\geq\log_{49}(3x-1);$$
б) $$3\log_{8}(2x-1)-2\log_{0{,}25}(x+2)\leq 0{,}5\log_{\sqrt{2}}(3);$$
в) $$\log_{\sqrt{5}}\left(\sqrt{10+x}\right)+\log_{0{,}2}(2x-4)>0;$$
г) $$\frac{3}{2}\log_{7}\left(\sqrt{7}(4x+17)\right)-\log_{7}(25-5x)<\log_{\frac{1}{7}}(0{,}5).$$
а) $$-\frac14\log_{\frac1{\sqrt7}}(7x+5)\ge \log_{49}(3x-1).$$
Так как $$-\frac14\log_{\frac1{\sqrt7}}(7x+5)=\log_{49}(7x+5),$$ получаем
$$\log_{49}(7x+5)\ge \log_{49}(3x-1).$$
При основании $$49>1$$ сравниваем аргументы:
$$7x+5\ge 3x-1,$$
$$4x\ge -6,$$
$$x\ge -\frac32.$$
Область определения:
$$7x+5>0,\quad 3x-1>0,$$
$$x>-\frac57,\quad x>\frac13.$$
С учётом ОДЗ:
$$x>\frac13.$$
Ответ: $$x\in\left(\frac13;+\infty\right).$$
б) $$3\log_8(2x-1)-2\log_{0,25}(x+2)\le 0,5\log_{\sqrt2}3.$$
Преобразуем основания:
$$3\log_8(2x-1)=\log_2(2x-1),$$
$$-2\log_{0,25}(x+2)=\log_2(x+2),$$
$$0,5\log_{\sqrt2}3=\log_2 3.$$
Тогда
$$\log_2(2x-1)+\log_2(x+2)\le \log_2 3,$$
$$\log_2\bigl((2x-1)(x+2)\bigr)\le \log_2 3,$$
$$(2x-1)(x+2)\le 3.$$
$$2x^2+3x-2\le 3,$$
$$2x^2+3x-5\le 0,$$
$$(2x+5)(x-1)\le 0.$$
Отсюда
$$-\frac52\le x\le 1.$$
Область определения:
$$2x-1>0,\quad x+2>0,$$
$$x>\frac12,\quad x>-2.$$
С учётом ОДЗ:
$$x\in\left(\frac12;1\right].$$
Ответ: $$x\in\left(\frac12;1\right].$$
в) $$\log_{\sqrt5}\sqrt{10+x}+\log_{0,2}(2x-4)>0.$$
Так как $$0,2=\frac15,$$ то
$$\log_5(10+x)-\log_5(2x-4)>0,$$
$$\log_5\frac{10+x}{2x-4}>0.$$
При основании $$5>1$$ это равносильно
$$\frac{10+x}{2x-4}>1,$$
$$\frac{10+x-(2x-4)}{2x-4}>0,$$
$$\frac{14-x}{2x-4}>0,$$
$$\frac{x-14}{x-2}<0.$$
Отсюда
$$2<x<14.$$
Область определения:
$$10+x>0,\quad 2x-4>0,$$
$$x>-10,\quad x>2.$$
Итак,
$$x\in(2;14).$$
Ответ: $$x\in(2;14).$$
г) $$\frac32\log_{7\sqrt7}(4x+17)-\log_7(25-5x)<\log_{1/7}0,5.$$
Преобразуем:
$$\frac32\log_{7\sqrt7}(4x+17)=\log_7(4x+17),$$
$$\log_{1/7}0,5=-\log_7 0,5=\log_7 2.$$
Тогда
$$\log_7(4x+17)-\log_7(25-5x)<\log_7 2,$$
$$\log_7\frac{4x+17}{25-5x}<\log_7 2,$$
$$\frac{4x+17}{25-5x}<2.$$
$$4x+17<50-10x,$$
$$14x<33,$$
$$x<\frac{33}{14}.$$
Область определения:
$$4x+17>0,\quad 25-5x>0,$$
$$x>-\frac{17}{4},\quad x<5.$$
Следовательно,
$$x\in\left(-\frac{17}{4};\frac{33}{14}\right).$$
Ответ: $$x\in\left(-\frac{17}{4};\frac{33}{14}\right).$$
