Упр.18.24 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$\log_{\frac{1}{3}}(13+x)<2\log_{\frac{1}{3}}(\sqrt{x+1}+2)$$
   б) $$2\log_{12}(\sqrt{x+5}+1)<\log_{12}(x+10)$$

а) Область определения:

$$13+x>0,\quad x+1\ge 0.$$

Отсюда

$$x>-13,\quad x\ge -1,$$

значит, $$x\ge -1.$$

Так как основание логарифма $$\frac13<1,$$ то при сравнении логарифмов знак неравенства меняется:

$$\log_{\frac13}(13+x)<2\log_{\frac13}(\sqrt{x+1}+2)$$

$$\log_{\frac13}(13+x)<\log_{\frac13}\bigl(\sqrt{x+1}+2\bigr)^2$$

$$13+x>(\sqrt{x+1}+2)^2.$$

Раскроем скобки:

$$13+x>x+1+4\sqrt{x+1}+4,$$

$$8>4\sqrt{x+1},$$

$$2>\sqrt{x+1},$$

$$4>x+1,$$

$$x<3.$$

С учётом ОДЗ получаем:

$$x\in[-1;3).$$

б) Область определения:

$$x+5\ge 0,\quad x+10>0.$$

Отсюда

$$x\ge -5,\quad x>-10,$$

значит, $$x\ge -5.$$

Так как основание логарифма $$12>1,$$ то знак неравенства сохраняется:

$$2\log_{12}(\sqrt{x+5}+1)<\log_{12}(x+10)$$

$$\log_{12}\bigl(\sqrt{x+5}+1\bigr)^2<\log_{12}(x+10)$$

$$\bigl(\sqrt{x+5}+1\bigr)^2<x+10.$$

Раскроем скобки:

$$x+5+2\sqrt{x+5}+1<x+10,$$

$$2\sqrt{x+5}<4,$$

$$\sqrt{x+5}<2,$$

$$x+5<4,$$

$$x<-1.$$

С учётом ОДЗ получаем:

$$x\in[-5;-1).$$

Ответ

а) $$x\in[-1;3)$$; б) $$x\in[-5;-1).$$