Упр.18.23 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. 18.23 а) Решите неравенство:
   $$2\log_{\sqrt{2}}2+\log_{\sqrt{2}}\left(2(x^2-1)-\frac{1}{4}\right)<\log_{\sqrt{2}}31;$$ $$\log_{\frac{1}{\sqrt{3}}}\left(3(x^2-4)-\frac{1}{9}\right)+2\log_{\frac{1}{\sqrt{3}}}3\geq\log_{\frac{1}{\sqrt{3}}}80.$$

а) $$2\log_{\sqrt2}2+\log_{\sqrt2}\left(2^{x^2-1}-\frac14\right)<\log_{\sqrt2}31.$$

Перенесём первый логарифм вправо:

$$\log_{\sqrt2}\left(2^{x^2-1}-\frac14\right)<\log_{\sqrt2}31-\log_{\sqrt2}4=\log_{\sqrt2}\frac{31}{4}.$$

Так как основание $$\sqrt2>1,$$ знак неравенства сохраняется:

$$2^{x^2-1}-\frac14<\frac{31}{4}.$$

Тогда

$$2^{x^2-1}<8=2^3,$$

откуда

$$x^2-1<3,$$

$$x^2<4,$$

$$-2<x<2.$$

Проверим область определения:

$$2^{x^2-1}-\frac14>0,$$

$$2^{x^2-1}>\frac14=2^{-2},$$

$$x^2-1>-2,$$

$$x^2>-1,$$

что верно при любых $$x\in\mathbb R.$$

Значит, решение неравенства:

$$x\in(-2;2).$$

б) $$\log_{1/\sqrt3}\left(3^{x^2-4}-\frac19\right)+2\log_{1/\sqrt3}3\ge \log_{1/\sqrt3}80.$$

Перенесём второй логарифм вправо:

$$\log_{1/\sqrt3}\left(3^{x^2-4}-\frac19\right)\ge \log_{1/\sqrt3}80-\log_{1/\sqrt3}9=\log_{1/\sqrt3}\frac{80}{9}.$$

Так как основание $$\frac1{\sqrt3}<1,$$ при переходе к показателям знак неравенства меняется:

$$3^{x^2-4}-\frac19\le \frac{80}{9}.$$

Тогда

$$3^{x^2-4}\le 9=3^2,$$

откуда

$$x^2-4\le 2,$$

$$x^2\le 6,$$

$$-\sqrt6\le x\le \sqrt6.$$

Проверим область определения:

$$3^{x^2-4}-\frac19>0,$$

$$3^{x^2-4}>\frac19=3^{-2},$$

$$x^2-4>-2,$$

$$x^2>2,$$

$$x<-\sqrt2 \quad \text{или} \quad x>\sqrt2.$$

Пересекаем с найденным промежутком:

$$x\in[-\sqrt6;-\sqrt2)\cup(\sqrt2;\sqrt6].$$

Ответ: а) $$x\in(-2;2);$$ б) $$x\in[-\sqrt6;-\sqrt2)\cup(\sqrt2;\sqrt6].$$