Упр.18.22 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Пусть $$t=\log_2 x.$$ Тогда

$$\frac{1}{t-4}>\frac{1}{t}$$

$$\frac{t-(t-4)}{t(t-4)}>0$$

$$\frac{4}{t(t-4)}>0.$$

Так как числитель положителен, то

$$t(t-4)>0.$$

Отсюда

$$t<0 \quad \text{или} \quad t>4.$$

Возвращаясь к переменной $$x$$, получаем:

$$\log_2 x<0 \Rightarrow 0<x<1,$$

$$\log_2 x>4 \Rightarrow x>16.$$

Ответ: $$x\in(0;1)\cup(16;+\infty).$$

б) Пусть $$t=\lg x.$$ Тогда

$$\frac{1}{1-t}<\frac{2t-5}{1+t}$$

$$\frac{(1+t)-(2t-5)(1-t)}{(1-t)(1+t)}<0$$

$$\frac{1+t-2t+5+2t^2-5t}{(1-t)(1+t)}<0$$

$$\frac{2t^2-6t+6}{(1-t)(1+t)}<0.$$

Числитель всегда положителен, так как

$$2t^2-6t+6=2\left(t^2-3t+3\right)>0.$$

Значит, нужно, чтобы

$$(1-t)(1+t)<0,$$

то есть

$$t<-1 \quad \text{или} \quad t>1.$$

Тогда

$$\lg x<-1 \Rightarrow 0<x<0{,}1,$$

$$\lg x>1 \Rightarrow x>10.$$

Ответ: $$x\in(0;0{,}1)\cup(10;+\infty).$$

в) Пусть $$t=\lg x.$$ Тогда

$$\frac{4}{1+t}-\frac{5}{2+t}\ge 0$$

$$\frac{4(2+t)-5(1+t)}{(1+t)(2+t)}\ge 0$$

$$\frac{3-t}{(1+t)(2+t)}\ge 0.$$

Решаем методом интервалов. Критические точки: $$t=-2,\,-1,\,3.$$ Получаем

$$t<-2 \quad \text{или} \quad -1<t\le 3.$$

Возвращаясь к $$x$$:

$$\lg x<-2 \Rightarrow 0<x<0{,}01,$$

$$-1<\lg x\le 3 \Rightarrow 0{,}1<x\le 1000.$$

Ответ: $$x\in(0;0{,}01)\cup(0{,}1;1000].$$

г) Пусть $$t=\log_2 x.$$ Тогда

$$2+\frac{t^2}{1+t}>t$$

$$\frac{2(1+t)+t^2-t(1+t)}{1+t}>0$$

$$\frac{2+2t+t^2-t-t^2}{1+t}>0$$

$$\frac{t+2}{t+1}>0.$$

Следовательно,

$$t<-2 \quad \text{или} \quad t>-1.$$

Тогда

$$\log_2 x<-2 \Rightarrow 0<x<\frac14,$$

$$\log_2 x>-1 \Rightarrow x>\frac12.$$

Ответ: $$x\in\left(0;\frac14\right)\cup\left(\frac12;+\infty\right).$$