Упр.18.21 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$\frac{1-\log_4 x}{1+2\log_4 x}\leq\frac{1}{2}$$;
   б) $$\frac{3\log_{0,5}x}{2-\log_{0,5}x}\geq 2\log_{0,5}x+1$$;
   в) $$(\log_{\frac{1}{2}}x+2)(2-\log_{\frac{1}{2}}x)<\log_{\frac{1}{2}}\frac{x^3}{64}$$;
   г) $$\frac{\log_{0,2}x+3}{\log_{0,2}x-3}\leq\frac{1}{3}$$.

Положим $$t=\log_4 x.$$ Тогда $$x>0.$$

а)

$$\frac{1-\log_4 x}{1+2\log_4 x}\le \frac12$$

$$\frac{1-t}{1+2t}-\frac12\le 0$$

$$\frac{2-2t-1-2t}{2(1+2t)}\le 0$$

$$\frac{1-4t}{2(1+2t)}\le 0$$

$$\frac{4t-1}{2t+1}\ge 0.$$

Критические точки: $$t=-\frac12,\quad t=\frac14.$$

Отсюда

$$t<-\frac12 \quad \text{или} \quad t\ge \frac14.$$

Возвращаясь к $$x$$, получаем

$$\log_4 x<-\frac12 \Rightarrow 0<x<\frac12,$$

$$\log_4 x\ge \frac14 \Rightarrow x\ge \sqrt2.$$

Ответ: $$x\in\left(0;\frac12\right)\cup[\sqrt2;+\infty).$$

б)

Пусть $$t=\log_{0,5}x.$$ Тогда $$x>0,$$ $$t\ne 2.$$

$$\frac{3\log_{0,5}x}{2-\log_{0,5}x}\ge 2\log_{0,5}x+1$$

$$\frac{3t}{2-t}-(2t+1)\ge 0$$

$$\frac{3t-(2t+1)(2-t)}{2-t}\ge 0$$

$$\frac{3t-(4t-2t^2+2-t)}{2-t}\ge 0$$

$$\frac{2t^2-2}{2-t}\ge 0$$

$$\frac{(t-1)(t+1)}{2-t}\ge 0.$$

Отсюда

$$t\le -1 \quad \text{или} \quad 1\le t<2.$$

Переходим к $$x$$:

$$\log_{0,5}x\le -1 \Rightarrow x\ge 2,$$

$$1\le \log_{0,5}x<2 \Rightarrow \frac14<x\le \frac12.$$

Ответ: $$x\in\left(\frac14;\frac12\right]\cup[2;+\infty).$$

в)

$$\left(\log_{\frac12}x+2\right)\left(2-\log_{\frac12}x\right)<\log_{\frac12}\frac{x^3}{64}$$

Пусть $$t=\log_{\frac12}x.$$ Тогда

$$\log_{\frac12}\frac{x^3}{64}=3\log_{\frac12}x-\log_{\frac12}64=3t-6,$$

так как $$\log_{\frac12}64=-6.$$

Получаем

$$\left(t+2\right)\left(2-t\right)<3t-6$$

$$4-t^2<3t-6$$

$$t^2+3t-10>0$$

$$\left(t+5\right)\left(t-2\right)>0.$$

Следовательно,

$$t<-5 \quad \text{или} \quad t>2.$$

Возвращаясь к $$x$$:

$$\log_{\frac12}x<-5 \Rightarrow x>32,$$

$$\log_{\frac12}x>2 \Rightarrow 0<x<\frac14.$$

Ответ: $$x\in\left(0;\frac14\right)\cup(32;+\infty).$$

г)

Пусть $$t=\log_{0,2}x.$$ Тогда $$x>0,$$ $$t\ne 3.$$

$$\frac{\log_{0,2}x+3}{\log_{0,2}x-3}\le \frac13$$

$$\frac{t+3}{t-3}-\frac13\le 0$$

$$\frac{3(t+3)-(t-3)}{3(t-3)}\le 0$$

$$\frac{2t+12}{3(t-3)}\le 0$$

$$\frac{t+6}{t-3}\le 0.$$

Отсюда

$$-6\le t<3.$$

Переходим к $$x$$:

$$-6\le \log_{0,2}x<3.$$

Так как $$0,2=\frac15,$$ то

$$\log_{\frac15}x=-6 \Rightarrow x=5^6=15625,$$

$$\log_{\frac15}x=3 \Rightarrow x=\frac1{125}.$$

С учётом убывания логарифмической функции получаем

$$\frac1{125}<x\le 15625.$$

Ответ: $$x\in\left(\frac1{125};15625\right].$$