Упр.18.20 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Обозначим $$t=\log_2(5-x).$$ Тогда исходное неравенство принимает вид

$$t^2-2t^3+9\le 0.$$

После приведения подобных получаем

$$t^2-6t+9\le 0,$$

$$\left(t-3\right)^2\le 0.$$

Квадрат неотрицателен, значит возможно только

$$t-3=0,\quad t=3.$$

Тогда

$$\log_2(5-x)=3,$$

$$5-x=8,$$

$$x=-3.$$

Ответ: $$x\in\{-3\}.$$

б) Обозначим $$t=\log_{\frac12}(4-x).$$ Тогда

$$t^2+5t+25\le 0.$$

Приведём к полному квадрату:

$$t^2+10t+25\le 0,$$

$$\left(t+5\right)^2\le 0.$$

Следовательно,

$$t+5=0,\quad t=-5.$$

Тогда

$$\log_{\frac12}(4-x)=-5,$$

$$4-x=\left(\frac12\right)^{-5}=32,$$

$$x=-28.$$

Ответ: $$x\in\{-28\}.$$

в) Пусть $$t=\log_{\frac13}(x-1).$$ Тогда неравенство сводится к

$$t^2+4t+3\ge 0,$$

$$\left(t+3\right)\left(t+1\right)\ge 0.$$

Отсюда

$$t\le -3 \quad \text{или} \quad t\ge -1.$$

Рассмотрим оба случая.

1) $$\log_{\frac13}(x-1)\le -3.$$

Так как основание $$\frac13<1,$$ знак неравенства при переходе к показательной форме меняется:

$$x-1\ge \left(\frac13\right)^{-3}=27,$$

$$x\ge 28.$$

2) $$\log_{\frac13}(x-1)\ge -1.$$

Тогда

$$0<x-1\le \left(\frac13\right)^{-1}=3,$$

$$1<x\le 4.$$

Итак,

Ответ: $$x\in(1;4]\cup[28;+\infty).$$

г) Пусть $$t=\log_3(x+5).$$ Тогда

$$t^2-2t-3\le 0.$$

Разложим на множители:

$$\left(t+1\right)\left(t-3\right)\le 0.$$

Отсюда

$$-1\le t\le 3.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$-1\le \log_3(x+5)\le 3.$$

Так как $$3>1,$$ получаем

$$3^{-1}\le x+5\le 3^3,$$

$$\frac13\le x+5\le 27,$$

$$-\frac{14}{3}\le x\le 22.$$

Ответ: $$x\in\left[-\frac{14}{3};\,22\right].$$