Упр.18.18 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Пусть $$y=\log_{0,3}(x+1).$$ Тогда получаем квадратное неравенство:

$$2y^2-7y-4\le 0.$$

Найдём корни:

$$D=49+32=81,$$

$$y_{1,2}=\frac{7\pm 9}{4},\quad y_1=-\frac12,\quad y_2=4.$$

Значит,

$$-\frac12\le y\le 4.$$

Так как основание логарифма $$0,3<1,$$ то функция убывает, поэтому

$$-\frac12\le \log_{0,3}(x+1)\le 4.$$

Из левой части:

$$\log_{0,3}(x+1)\ge -\frac12 \;\Longrightarrow\; x+1\le 0,3^{-1/2}=\sqrt{\frac{10}{3}}.$$

Из правой части:

$$\log_{0,3}(x+1)\le 4 \;\Longrightarrow\; x+1\ge 0,3^4=\frac{81}{10000}.$$

С учётом области определения $$x+1>0$$ получаем

$$\frac{81}{10000}\le x+1\le \sqrt{\frac{10}{3}}.$$

Следовательно,

$$x\in\left[\frac{81}{10000}-1;\,-1+\sqrt{\frac{10}{3}}\right].$$

б) Пусть $$y=\log_4 x.$$ Тогда

$$3y^2-7y+16<0.$$

Дискриминант:

$$D=49-192=-143<0.$$

Так как старший коэффициент положителен, выражение $$3y^2-7y+16$$ всегда положительно и не может быть меньше нуля. Значит, решений нет.

в) Пусть $$y=\log_{\frac13}(2x+1).$$ Тогда

$$3y^2+5y-2>0.$$

Найдём корни:

$$D=25+24=49,$$

$$y_{1,2}=\frac{-5\pm 7}{6},\quad y_1=-2,\quad y_2=\frac13.$$

Тогда

$$y<-2 \quad \text{или} \quad y>\frac13.$$

1) Если $$\log_{\frac13}(2x+1)<-2,$$ то, так как основание $$\frac13<1,$$ знак неравенства меняется:

$$2x+1>\left(\frac13\right)^{-2}=9,$$

$$x>4.$$

2) Если $$\log_{\frac13}(2x+1)>\frac13,$$ то

$$0<2x+1<\left(\frac13\right)^{1/3}=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}.$$

Отсюда

$$-\frac12<x<\frac{1}{2\sqrt[3]{3}}-\frac12.$$

С учётом области определения $$2x+1>0$$ получаем итог:

$$x\in\left(-\frac12;\,\frac{1}{2\sqrt[3]{3}}-\frac12\right)\cup(4;+\infty).$$

г) Пусть $$y=\log_3 x.$$ Тогда

$$y^2+3y-18<0.$$

Найдём корни:

$$D=9+72=81,$$

$$y_{1,2}=\frac{-3\pm 9}{2},\quad y_1=-6,\quad y_2=3.$$

Следовательно,

$$-6<y<3.$$

Так как основание $$3>1,$$ то

$$3^{-6}<x<3^3,$$

$$\frac{1}{729}<x<27.$$

Ответ

а) $$x\in\left[\frac{81}{10000}-1;\,-1+\sqrt{\frac{10}{3}}\right];$$ б) $$\varnothing;$$ в) $$x\in\left(-\frac12;\,\frac{1}{2\sqrt[3]{3}}-\frac12\right)\cup(4;+\infty);$$ г) $$x\in\left(\frac{1}{729};\,27\right).$$