Упр.18.2 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$\log_{5}(3x+1)<2$$;
   б) $$\log_{\frac{2}{3}}\left(\frac{x}{5}\right)>1$$;
   в) $$\log_{0{,}5}\left(\frac{x}{3}\right)\geq -2$$;
   г) $$\log_{\sqrt{3}}(2x-3)<4$$.

а) $$\log_5(3x+1)<2$$

Так как основание $$5>1,$$ то знак неравенства сохраняется:

$$3x+1<5^2=25.$$

С учётом области определения:

$$3x+1>0.$$

Получаем систему:

$$\begin{cases} 3x+1>0,\\ 3x+1<25. \end{cases}$$

$$\begin{cases} x>-\dfrac13,\\ x<8. \end{cases}$$

Следовательно, $$x\in\left(-\dfrac13;8\right).$$

б) $$\log_{0,5}\dfrac{x}{3}\ge -2$$

Так как основание $$0{,}5<1,$$ то при переходе к показательной форме знак неравенства меняется:

$$\dfrac{x}{3}\le (0,5)^{-2}=4.$$

С учётом области определения:

$$\dfrac{x}{3}>0.$$

Тогда

$$\begin{cases} x>0,\\ x\le 12. \end{cases}$$

Ответ: $$x\in(0;12].$$

в) $$\log_{\frac23}\dfrac{x}{5}>1$$

Так как основание $$\dfrac23<1,$$ то знак неравенства меняется:

$$\dfrac{x}{5}<\left(\dfrac23\right)^1=\dfrac23.$$

С учётом области определения:

$$\dfrac{x}{5}>0.$$

Получаем:

$$\begin{cases} x>0,\\ x<\dfrac{10}{3}. \end{cases}$$

Следовательно, $$x\in\left(0;\dfrac{10}{3}\right).$$

г) $$\log_{\sqrt3}(2x-3)<4$$

Так как основание $$\sqrt3>1,$$ то знак неравенства сохраняется:

$$2x-3<(\sqrt3)^4=9.$$

С учётом области определения:

$$2x-3>0.$$

Тогда

$$\begin{cases} 2x-3>0,\\ 2x-3<9. \end{cases}$$

$$\begin{cases} x>\dfrac32,\\ x<6. \end{cases}$$

Ответ: $$x\in\left(\dfrac32;6\right).$$