Упр.18.19 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Обозначим $$y=\log_2 x.$$ Тогда

$$\log_2^2 x-15\log_2 x+11\le 0 \;\Longrightarrow\; y^2-15y+11\le 0.$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$D=15^2-4\cdot 1\cdot 11=225-44=181,$$

$$y_{1,2}=\frac{15\pm \sqrt{181}}{2}.$$

Тогда

$$\frac{15-\sqrt{181}}{2}\le y\le \frac{15+\sqrt{181}}{2}.$$

Возвращаясь к переменной $$x,$$ получаем

$$2^{\frac{15-\sqrt{181}}{2}}\le x\le 2^{\frac{15+\sqrt{181}}{2}}.$$

б) Пусть $$y=\log_{\frac13}(x-1).$$ Тогда

$$\log_{\frac13}^2(x^2-2x+1)-7\log_{\frac13}(x-1)+3\le 0$$

преобразуется в

$$y^2-7y+3\le 0.$$

Найдём корни:

$$D=49-12=37,$$

$$y_{1,2}=\frac{7\pm \sqrt{37}}{2}.$$

Следовательно,

$$\frac{7-\sqrt{37}}{2}\le y\le \frac{7+\sqrt{37}}{2}.$$

Так как основание $$\frac13<1,$$ то при переходе к $$x$$ знак неравенств меняется:

$$\left(\frac13\right)^{\frac{7+\sqrt{37}}{2}}\le x-1\le \left(\frac13\right)^{\frac{7-\sqrt{37}}{2}}.$$

С учётом области определения $$x>1$$ получаем

$$1+\left(\frac13\right)^{\frac{7+\sqrt{37}}{2}}\le x\le 1+\left(\frac13\right)^{\frac{7-\sqrt{37}}{2}}.$$

в) Обозначим $$y=\log_5 x.$$ Тогда

$$2\log_5^2 x+5\log_5 25x-8\ge 0.$$

Так как $$\log_5 25x=\log_5 25+\log_5 x=2+y,$$ получаем

$$2y^2+5(y+2)-8\ge 0,$$

то есть

$$2y^2+5y+2\ge 0.$$

Разложим на множители:

$$2y^2+5y+2=(2y+1)(y+2)\ge 0.$$

Отсюда

$$y\le -2 \quad \text{или} \quad y\ge -\frac12.$$

Переходя к $$x,$$ имеем

$$0<x\le 5^{-2} \quad \text{или} \quad x\ge 5^{-\frac12}.$$

С учётом области определения $$x>0$$ ответ:

$$x\in \left(0;5^{-2}\right]\cup \left[5^{-\frac12};+\infty\right).$$

г) Пусть $$y=\log_{\frac15}(x+1).$$ Тогда

$$\log_{\frac15}^2(x^2+2x+1)-31\log_{\frac15}(x+1)+15<0$$

превращается в

$$y^2-31y+15<0.$$

Найдём корни:

$$D=31^2-4\cdot 15=961-60=901,$$

$$y_{1,2}=\frac{31\pm \sqrt{901}}{2}.$$

Тогда

$$\frac{31-\sqrt{901}}{2}<y<\frac{31+\sqrt{901}}{2}.$$

Так как $$\frac15<1,$$ получаем

$$\left(\frac15\right)^{\frac{31+\sqrt{901}}{2}}<x+1<\left(\frac15\right)^{\frac{31-\sqrt{901}}{2}}.$$

С учётом области определения $$x>-1$$:

$$\left(\frac15\right)^{\frac{31+\sqrt{901}}{2}}-1<x<\left(\frac15\right)^{\frac{31-\sqrt{901}}{2}}-1.$$

Ответ

а) $$x\in \left[2^{\frac{15-\sqrt{181}}{2}};2^{\frac{15+\sqrt{181}}{2}}\right];$$

б) $$x\in \left[1+\left(\frac13\right)^{\frac{7+\sqrt{37}}{2}};1+\left(\frac13\right)^{\frac{7-\sqrt{37}}{2}}\right];$$

в) $$x\in \left(0;5^{-2}\right]\cup \left[5^{-\frac12};+\infty\right);$$

г) $$x\in \left(\left(\frac15\right)^{\frac{31+\sqrt{901}}{2}}-1;\left(\frac15\right)^{\frac{31-\sqrt{901}}{2}}-1\right).$$