Упр.18.17 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Положим $$y=\log_2 x.$$ Тогда неравенство
$$\log_2^2 x>4\log_2 x-3$$
примет вид
$$y^2-4y+3>0.$$
Разложим на множители:
$$y^2-4y+3=(y-1)(y-3).$$
Тогда
$$(y-1)(y-3)>0,$$
откуда
$$y<1 \quad \text{или} \quad y>3.$$
Возвращаясь к переменной $$x$$, получаем:
$$\log_2 x<1 \Rightarrow 0<x<2,$$
$$\log_2 x>3 \Rightarrow x>8.$$
Следовательно,
$$x\in(0;2)\cup(8;+\infty).$$
Положим $$y=\log_{\frac12}x.$$ Тогда
$$\log_{\frac12}^2 x+3\log_{\frac12}x<-2$$
превращается в
$$y^2+3y+2<0.$$
Разложим на множители:
$$(y+2)(y+1)<0.$$
Отсюда
$$-2<y<-1.$$
Переходим к $$x$$:
$$\log_{\frac12}x>-2 \Rightarrow x<4,$$
$$\log_{\frac12}x<-1 \Rightarrow x>2.$$
С учётом области определения $$x>0$$ получаем
$$x\in(2;4).$$
Положим $$y=\log_4 x.$$ Тогда
$$\log_4^2 x-\log_4 x\le 2$$
равносильно
$$y^2-y-2\le 0.$$
Разложим на множители:
$$(y+1)(y-2)\le 0.$$
Следовательно,
$$-1\le y\le 2.$$
Тогда
$$\log_4 x\ge -1 \Rightarrow x\ge \frac14,$$
$$\log_4 x\le 2 \Rightarrow x\le 16.$$
Итак,
$$x\in\left[\frac14;16\right].$$
Положим $$y=\log_{0,2}x.$$ Тогда
$$\log_{0,2}^2 x\ge 6-\log_{0,2}x$$
превращается в
$$y^2+y-6\ge 0.$$
Разложим на множители:
$$(y+3)(y-2)\ge 0.$$
Отсюда
$$y\le -3 \quad \text{или} \quad y\ge 2.$$
Возвращаясь к $$x$$, получаем:
$$\log_{0,2}x\le -3 \Rightarrow x\ge 125,$$
$$\log_{0,2}x\ge 2 \Rightarrow 0<x\le \frac1{25}.$$
Следовательно,
$$x\in\left(0;\frac1{25}\right]\cup[125;+\infty).$$
Ответ
а) $$x\in(0;2)\cup(8;+\infty)$$;
б) $$x\in(2;4)$$;
в) $$x\in\left[\frac14;16\right]$$;
г) $$x\in\left(0;\frac1{25}\right]\cup[125;+\infty).$$
