Упр.18.16 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

• а) $$\log_2(x^2+2x+4)+\log_2(x-2)<\log_2(x^3-x^2+4x-3)$$; б) $$\lg(x^3-x^2-x+20)\geq\lg(x+2)+\lg(x^2-2x+4)$$.

а) Рассмотрим неравенство

$$\log_2(x^2+2x+4)+\log_2(x-2)<\log_2(x^3-x^2+4x-3).$$

Область определения:

$$x-2>0,\quad x^2+2x+4>0,\quad x^3-x^2+4x-3>0.$$

Так как $$x^2+2x+4>0$$ при всех $$x$$, остаётся условие $$x>2$$.

Сложим логарифмы слева:

$$\log_2\bigl((x^2+2x+4)(x-2)\bigr)<\log_2(x^3-x^2+4x-3).$$

Поскольку основание $$2>1$$, получаем

$$(x^2+2x+4)(x-2)<x^3-x^2+4x-3.$$

Раскроем скобки:

$$x^3-8<x^3-x^2+4x-3,$$

$$x^2-4x-5<0.$$

Решим квадратное неравенство:

$$x^2-4x-5=(x+1)(x-5),$$

откуда

$$-1<x<5.$$

С учётом области определения $$x>2$$ получаем

$$2<x<5.$$

б) Рассмотрим неравенство

$$\lg(x^3-x^2-x+20)\ge \lg(x+2)+\lg(x^2-2x+4).$$

Область определения:

$$x+2>0,\quad x^2-2x+4>0,\quad x^3-x^2-x+20>0.$$

Так как $$x^2-2x+4>0$$ при всех $$x$$, остаётся условие $$x>-2$$.

Сложим логарифмы справа:

$$\lg(x^3-x^2-x+20)\ge \lg\bigl((x+2)(x^2-2x+4)\bigr).$$

Поскольку основание $$10>1$$, получаем

$$x^3-x^2-x+20\ge (x+2)(x^2-2x+4).$$

Раскроем скобки:

$$x^3-x^2-x+20\ge x^3+8,$$

$$x^2+x-12\le 0.$$

Разложим на множители:

$$x^2+x-12=(x+4)(x-3),$$

значит

$$-4\le x\le 3.$$

С учётом области определения $$x>-2$$ получаем

$$-2<x\le 3.$$

Ответ

а) $$x\in(2;5).$$

б) $$x\in(-2;3].$$