Упр.18.15 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

$$\lg(x+3)+\lg(2x-8)<2\lg x$$

Объединим логарифмы:

$$\lg\bigl((x+3)(2x-8)\bigr)<\lg x^2$$

Так как функция $$\lg t$$ возрастает, получаем:

$$(x+3)(2x-8)<x^2$$

$$2x^2-2x-24<0$$

$$x^2-x-12<0$$

$$(x-4)(x+3)<0$$

Отсюда $$-3<x<4$$.

Область определения:

$$x+3>0,\quad 2x-8>0,\quad x>0$$

$$x>4$$

Пересечение условий:

$$x\in(4;6)$$

$$\log_{0,5}(3x-1)-\log_{0,5}(x-1)<\log_{0,5}(x+18)-\log_{0,5}(x+2)$$

Перенесём логарифмы в одну сторону:

$$\log_{0,5}\frac{3x-1}{x-1}<\log_{0,5}\frac{x+18}{x+2}$$

Так как основание $$0{,}5<1$$, знак неравенства меняется:

$$\frac{3x-1}{x-1}>\frac{x+18}{x+2}$$

$$\frac{(3x-1)(x+2)-(x+18)(x-1)}{(x-1)(x+2)}>0$$

$$\frac{2x^2-12x+16}{(x-1)(x+2)}>0$$

$$\frac{2(x-2)(x-4)}{(x-1)(x+2)}>0$$

Знак выражения положителен при

$$x\in(-2;1)\cup(2;4)\cup(4;+\infty)$$

Область определения:

$$3x-1>0,\quad x-1>0,\quad x+18>0,\quad x+2>0$$

$$x>1$$

Итак,

$$x\in(1;2)\cup(4;+\infty)$$

$$\log_3(2x-7)\ge 2\log_3(x+1)-\log_3(x-19)$$

Преобразуем правую часть:

$$\log_3(2x-7)\ge \log_3\frac{(x+1)^2}{x-19}$$

Так как основание $$3>1$$, получаем:

$$2x-7\ge \frac{(x+1)^2}{x-19}$$

$$\frac{(2x-7)(x-19)-(x+1)^2}{x-19}\ge 0$$

$$\frac{x^2-47x+132}{x-19}\ge 0$$

$$x^2-47x+132=(x-3)(x-44)$$

Тогда

$$\frac{(x-3)(x-44)}{x-19}\ge 0$$

С учётом области определения:

$$2x-7>0,\quad x+1>0,\quad x-19>0$$

$$x>19$$

Следовательно,

$$x\in[44;+\infty)$$

$$\log_{1/3}(2x+3)+\log_{1/3}(x-2)\ge \frac12\log_{1/3}(x^2)+\log_{1/3}(4x-9)$$

Так как $$\frac12\log_{1/3}(x^2)=\log_{1/3}|x|$$, а при области определения $$x>2$$, то $$|x|=x$$. Тогда:

$$\log_{1/3}\bigl((2x+3)(x-2)\bigr)\ge \log_{1/3}\bigl(x(4x-9)\bigr)$$

Основание $$\frac13<1$$, значит знак неравенства меняется:

$$(2x+3)(x-2)\le x(4x-9)$$

$$2x^2-x-6\le 4x^2-9x$$

$$2x^2-8x+6\ge 0$$

$$x^2-4x+3\ge 0$$

$$(x-1)(x-3)\ge 0$$

$$x\le 1 \quad \text{или} \quad x\ge 3$$

Область определения:

$$2x+3>0,\quad x-2>0,\quad x^2>0,\quad 4x-9>0$$

$$x>2,\quad x>\frac94$$

Итак,

$$x\in[3;+\infty)$$