Упр.18.14 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. 18.14. Решите неравенство:
   
   а) $$\log_{\frac{1}{3}}(x)+\log_{\frac{1}{3}}(4-x)>-1$$;
   
   б) $$\log_{2}(7-x)+\log_{2}(x)\geqslant 1+\log_{2}(3)$$;
   
   в) $$\lg(7-x)+\lg>1$$;
   
   г) $$\log_{\frac{1}{2}}(x)+\log_{\frac{1}{2}}(10-x)\geqslant -1+\log_{\frac{1}{2}}(4{,}5)$$.

a) Рассмотрим область определения: $$x>0,\quad 4-x>0,$$ откуда $$0<x<4.$$

Так как основание $$\frac13<1,$$ то логарифмическая функция убывает, значит

$$\log_{\frac13}x+\log_{\frac13}(4-x)>-1$$

$$\log_{\frac13}\bigl(x(4-x)\bigr)>\log_{\frac13}3.$$

При основании меньше 1 знак неравенства меняется:

$$x(4-x)<3.$$

$$4x-x^2<3$$

$$x^2-4x+3>0$$

$$\left(x-1\right)\left(x-3\right)>0.$$

Отсюда $$x<1$$ или $$x>3.$$ С учётом ОДЗ получаем

$$x\in(0;1)\cup(3;4).$$

б) Область определения: $$x>0,\quad 7-x>0,$$ значит $$0<x<7.$$

$$\log_2(7-x)+\log_2x\ge 1+\log_2 3$$

$$\log_2\bigl(x(7-x)\bigr)\ge \log_2 2+\log_2 3=\log_2 6.$$

Тогда

$$x(7-x)\ge 6$$

$$7x-x^2\ge 6$$

$$x^2-7x+6\le 0$$

$$\left(x-1\right)\left(x-6\right)\le 0.$$

Следовательно, $$1\le x\le 6.$$ Это множество целиком входит в ОДЗ, значит

$$x\in[1;6].$$

в) Область определения: $$x>0,\quad 7-x>0,$$ значит $$0<x<7.$$

$$\lg(7-x)+\lg x>1$$

$$\lg\bigl(x(7-x)\bigr)>\lg 10.$$

Тогда

$$x(7-x)>10$$

$$7x-x^2>10$$

$$x^2-7x+10<0$$

$$\left(x-2\right)\left(x-5\right)<0.$$

Отсюда

$$2<x<5.$$

г) Область определения: $$x>0,\quad 10-x>0,$$ значит $$0<x<10.$$

$$\log_{\frac12}x+\log_{\frac12}(10-x)\ge -1+\log_{\frac12}4{,}5$$

$$\log_{\frac12}\bigl(x(10-x)\bigr)\ge \log_{\frac12}2+\log_{\frac12}4{,}5=\log_{\frac12}9.$$

Так как основание $$\frac12<1,$$ знак неравенства меняется:

$$x(10-x)\le 9.$$

$$10x-x^2\le 9$$

$$x^2-10x+9\ge 0$$

$$\left(x-1\right)\left(x-9\right)\ge 0.$$

Следовательно, $$x\le 1$$ или $$x\ge 9.$$ С учётом ОДЗ получаем

$$x\in(0;1]\cup[9;10).$$

Ответ

а) $$x\in(0;1)\cup(3;4)$$; б) $$x\in[1;6]$$; в) $$x\in(2;5)$$; г) $$x\in(0;1]\cup[9;10).$$