Упр.18.13 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Сколько целочисленных решений имеет неравенство:
   а) $$\log_{12}(x^2-x)\le 1$$;
   б) $$\log_{\frac{1}{2}}(x^2-10x+9)\ge 0$$;
   в) $$\log_{9}(x^2-8x)\le 1$$;
   г) $$\log_{0{,}3}(-x^2+7x-5)<0$$?

а) $$\log_{12}(x^2-x)\le 1$$

Так как основание $$12>1,$$ то неравенство равносильно системе:

$$\begin{cases} x^2-x\le 12,\\ x^2-x>0. \end{cases}$$

Решим первое неравенство:

$$x^2-x-12\le 0$$

$$(x+3)(x-4)\le 0$$

$$-3\le x\le 4.$$

Область определения:

$$x^2-x>0 \;\;\Longleftrightarrow\;\; x(x-1)>0 \;\;\Longleftrightarrow\;\; x<0 \text{ или } x>1.$$

Пересечение с $$[-3;4]$$ даёт целые значения:

$$x=-3,-2,-1,2,3,4.$$

Их 6.

б) $$\log_{\frac12}(x^2-10x+9)\ge 0$$

Так как основание $$0<\frac12<1,$$ то:

$$x^2-10x+9\le 1,$$

при этом

$$x^2-10x+9>0.$$

Из первого неравенства:

$$x^2-10x+8\le 0$$

$$D=100-32=68,$$

$$x_{1,2}=5\pm \sqrt{17}.$$

Значит,

$$5-\sqrt{17}\le x\le 5+\sqrt{17}.$$

Область определения:

$$x^2-10x+9>0$$

$$(x-1)(x-9)>0$$

$$x<1 \text{ или } x>9.$$

Пересечение с $$[5-\sqrt{17};\,5+\sqrt{17}]$$ не содержит целых чисел.

Следовательно, целочисленных решений нет.

в) $$\log_9(x^2-8x)\le 1$$

Так как основание $$9>1,$$ то:

$$x^2-8x\le 9,$$

при этом

$$x^2-8x>0.$$

Решим неравенство:

$$x^2-8x-9\le 0$$

$$(x+1)(x-9)\le 0$$

$$-1\le x\le 9.$$

Область определения:

$$x^2-8x>0$$

$$x(x-8)>0$$

$$x<0 \text{ или } x>8.$$

Целые решения:

$$x=-1,9.$$

Их 2.

г) $$\log_{0,3}(-x^2+7x-5)<0$$

Так как основание $$0<0{,}3<1,$$ то неравенство равносильно:

$$-x^2+7x-5>1.$$

Получаем:

$$-x^2+7x-6>0$$

$$x^2-7x+6<0$$

$$(x-1)(x-6)<0.$$

Отсюда

$$1<x<6.$$

Целые решения:

$$x=2,3,4,5.$$

Их 4.

Ответ

а) 6; б) 0; в) 2; г) 4.