Упр.18.12 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите неравенство:
   а) $$\log_{\frac{1}{3}}\left(\frac{3x-2}{2x-3}\right)>-1$$;
   б) $$\log_{5}\left(2\sqrt[3]{x^2}-3\sqrt[3]{x}\right)<1$$;
   в) $$\log_{6}\left(\frac{7x-4}{x+2}\right)\leqslant 0$$;
   г) $$\log_{0{,}1}\left(7x^2-x^4\right)>-1$$.

а) Так как основание $$\frac13<1,$$ то при переходе к показательной форме знак неравенства меняется:

$$\log_{\frac13}\frac{3x-2}{2x-3}>-1 \iff \frac{3x-2}{2x-3}<3.$$

Решим неравенство:

$$\frac{3x-2}{2x-3}-3<0$$

$$\frac{3x-2-3(2x-3)}{2x-3}<0$$

$$\frac{-3x+7}{2x-3}<0 \iff \frac{3x-7}{2x-3}>0.$$

Отсюда

$$x<\frac32 \quad \text{или} \quad x>\frac73.$$

С учётом области определения $$\frac{3x-2}{2x-3}>0$$ получаем

$$x<\frac23 \quad \text{или} \quad x>\frac32.$$

Пересечение даёт:

$$x\in\left(-\infty;\frac23\right)\cup\left(\frac73;+\infty\right).$$

б) Так как $$5>1,$$ то

$$\log_5\left(2\sqrt[3]{x^2}-3\sqrt[3]{x}\right)<1 \iff 2\sqrt[3]{x^2}-3\sqrt[3]{x}<5.$$

Положим $$t=\sqrt[3]{x}.$$ Тогда $$\sqrt[3]{x^2}=t^2,$$ и получаем

$$2t^2-3t-5<0.$$

$$D=9+40=49,\qquad t_{1,2}=\frac{3\pm7}{4}.$$

Следовательно,

$$t_1=-1,\qquad t_2=\frac52,$$

и потому

$$-1<t<\frac52.$$

Теперь учтём область определения:

$$2\sqrt[3]{x^2}-3\sqrt[3]{x}>0 \iff \sqrt[3]{x}\,(2\sqrt[3]{x}-3)>0.$$

Отсюда

$$x<0 \quad \text{или} \quad x>\frac{27}{8}.$$

Пересечение с $$-1<\sqrt[3]{x}<\frac52$$ даёт

$$x\in(-1;0)\cup\left(\frac{27}{8};\frac{125}{8}\right).$$

в) Так как $$6>1,$$ то

$$\log_6\frac{7x-4}{x+2}\le 0 \iff \frac{7x-4}{x+2}\le 1.$$

Решим неравенство:

$$\frac{7x-4-(x+2)}{x+2}\le 0$$

$$\frac{6x-6}{x+2}\le 0$$

$$\frac{x-1}{x+2}\le 0.$$

Отсюда

$$-2<x\le 1.$$

Область определения:

$$\frac{7x-4}{x+2}>0.$$

Это даёт

$$x<-\!2 \quad \text{или} \quad x>\frac47.$$

Пересечение с $$-2<x\le 1$$:

$$x\in\left(\frac47;1\right].$$

г) Так как $$0{,}1<1,$$ то

$$\log_{0{,}1}(7x^2-x^4)>-1 \iff 7x^2-x^4<10.$$

Получаем

$$x^4-7x^2+10>0.$$

Положим $$t=x^2.$$ Тогда

$$t^2-7t+10>0$$

$$(t-2)(t-5)>0.$$

Следовательно,

$$x^2<2 \quad \text{или} \quad x^2>5.$$

То есть

$$-\sqrt2<x<\sqrt2 \quad \text{или} \quad x<-\sqrt5 \quad \text{или} \quad x>\sqrt5.$$

Область определения:

$$7x^2-x^4>0 \iff x^2(7-x^2)>0.$$

Отсюда

$$-\sqrt7<x<\sqrt7,\qquad x\ne 0.$$

Пересечение даёт

$$x\in(-\sqrt7;-\sqrt5)\cup(-\sqrt2;0)\cup(0;\sqrt2)\cup(\sqrt5;\sqrt7).$$

Ответ

а) $$x\in\left(-\infty;\frac23\right)\cup\left(\frac73;+\infty\right);$$
б) $$x\in(-1;0)\cup\left(\frac{27}{8};\frac{125}{8}\right);$$
в) $$x\in\left(\frac47;1\right];$$
г) $$x\in(-\sqrt7;-\sqrt5)\cup(-\sqrt2;0)\cup(0;\sqrt2)\cup(\sqrt5;\sqrt7).$$