Упр.18.11 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

• а) $$\log_{8}(x^2-7x)>1$$; б) $$\log_{\frac{1}{2}}\left(x^2+0{,}5x\right)\le 1$$; в) $$\log_{2}\left(x^2-6x+24\right)<4$$; г) $$\log_{\frac{1}{3}}\left(-x^2+\frac{10}{9}x\right)\ge 2$$.

а) $$\log_8(x^2-7x)>1$$

Так как $$8>1,$$ то

$$x^2-7x>8.$$

Получаем:

$$x^2-7x-8>0$$

$$(x+1)(x-8)>0.$$

Отсюда

$$x<-1 \quad \text{или} \quad x>8.$$

Ответ: $$x\in(-\infty;-1)\cup(8;+\infty).$$

б) $$\log_{\frac12}(x^2+0{,}5x)\le 1$$

Так как $$0<\frac12<1,$$ знак неравенства при переходе к показательной форме меняется:

$$x^2+0{,}5x\ge \frac12.$$

Тогда

$$2x^2+x-1\ge 0$$

$$(2x-1)(x+1)\ge 0.$$

Отсюда

$$x\le -1 \quad \text{или} \quad x\ge \frac12.$$

С учётом области определения $$x^2+0{,}5x>0$$ получаем тот же ответ.

Ответ: $$x\in(-\infty;-1]\cup\left[\frac12;+\infty\right).$$

в) $$\log_2(x^2-6x+24)<4$$

Так как $$2>1,$$ то

$$x^2-6x+24<16.$$

Получаем:

$$x^2-6x+8<0$$

$$(x-2)(x-4)<0.$$

Отсюда

$$2<x<4.$$

Проверим область определения: $$x^2-6x+24>0.$$

Для этого выражения $$D=36-96=-60<0,$$ а старший коэффициент положителен, значит $$x^2-6x+24>0$$ при всех $$x\in\mathbb R.$$

Ответ: $$x\in(2;4).$$

г) $$\log_{\frac13}\left(-x^2+\frac{10x}{9}\right)\ge 2$$

Так как $$0<\frac13<1,$$ знак неравенства меняется:

$$-x^2+\frac{10x}{9}\le \frac19.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$9x^2-10x+1\ge 0.$$

Найдём корни:

$$D=100-36=64,$$

$$x_1=\frac{10-8}{18}=\frac19,\qquad x_2=\frac{10+8}{18}=1.$$

Тогда

$$\left(x-\frac19\right)(x-1)\ge 0,$$

откуда

$$x\le \frac19 \quad \text{или} \quad x\ge 1.$$

Теперь учтём область определения:

$$-x^2+\frac{10x}{9}>0$$

$$x\left(\frac{10}{9}-x\right)>0,$$

значит

$$0<x<\frac{10}{9}.$$

Пересечение даёт:

$$x\in\left(0;\frac19\right]\cup\left[1;\frac{10}{9}\right).$$

Ответ: $$x\in\left(0;\frac19\right]\cup\left[1;\frac{10}{9}\right).$$