Упр.18.10 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$\log_{2}\left(\frac{4-x}{x-2}\right)\leq\log_{2}\left(\frac{1}{x-2}\right)$$;
2. б) $$\log_{0{,}5}\left(\frac{7}{3x-2}\right)>\log_{0{,}5}\left(\frac{4x}{3x-2}\right)$$.

а) Так как основание логарифма $$2>1,$$ то функция $$\log_2 x$$ возрастает, значит можно сравнить подлогарифмические выражения:

$$\frac{4-x}{x-2}\le \frac{1}{x-2}.$$

Перенесём всё в одну дробь:

$$\frac{4-x-1}{x-2}\le 0,$$

$$\frac{3-x}{x-2}\le 0,$$

$$\frac{x-3}{x-2}\ge 0.$$

Найдём область определения:

$$\frac{4-x}{x-2}>0,\qquad \frac{1}{x-2}>0.$$

Из этих условий получаем:

$$2<x<4.$$

Решаем неравенство $$\frac{x-3}{x-2}\ge 0$$ методом интервалов. С учётом ОДЗ получаем:

$$x\in[3;4).$$

б) Основание $$0{,}5<1,$$ значит логарифмическая функция убывает, поэтому знак неравенства при сравнении подлогарифмических выражений меняется:

$$\frac{7}{3x-2}>\frac{4x}{3x-2}.$$

Перенесём в одну дробь:

$$\frac{7-4x}{3x-2}>0,$$

или

$$\frac{4x-7}{3x-2}<0.$$

Область определения:

$$\frac{7}{3x-2}>0,\qquad \frac{4x}{3x-2}>0.$$

Отсюда:

$$x>\frac23,\qquad x>0,$$

то есть $$x>\frac23.$$

Решаем неравенство $$\frac{4x-7}{3x-2}<0.$$ Критические точки: $$x=\frac23$$ и $$x=\frac74.$$ С учётом ОДЗ получаем:

$$x\in\left(\frac23;\frac74\right).$$

Ответ

а) $$x\in[3;4).$$
б) $$x\in\left(\frac23;\frac74\right).$$