Упр.18.1 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. 18.1. Решите неравенство:
   а) $$\log_2 x \ge 4$$;
   б) $$\log_{\frac{1}{2}} x > -3$$;
   в) $$\log_2 x < \frac{1}{2}$$;
   г) $$\log_{0{,}1} x \le -\frac{1}{2}$$.

Рассмотрим каждое неравенство отдельно. При решении учитываем, что область определения логарифма: $$x>0.$$

1. $$\log_2 x \ge 4$$

   Так как основание $$2>1,$$ знак неравенства сохраняется:

   $$x \ge 2^4 = 16.$$

   Следовательно, $$x \in [16; +\infty).$$

2. $$\log_{\frac12} x > -3$$

   Так как основание $$\frac12$$ лежит между $$0$$ и $$1,$$ при переходе к показательной форме знак неравенства меняется:

   $$x < \left(\frac12\right)^{-3} = 8.$$

   С учётом ОДЗ получаем:

   $$x \in (0; 8).$$

3. $$\log_2 x < \frac12$$

   Переходим к показательной форме:

   $$x < 2^{\frac12} = \sqrt{2}.$$

   С учётом ОДЗ:

   $$x \in (0; \sqrt{2}).$$

4. $$\log_{0{,}1} x \le -\frac12$$

   Так как $$0<0{,}1<1,$$ при переходе к показательной форме знак неравенства меняется:

   $$x \ge (0{,}1)^{-\frac12} = \frac{1}{\sqrt{0{,}1}} = \sqrt{10}.$$

   Следовательно, $$x \in [\sqrt{10}; +\infty).$$

Ответ: а) $$x \in [16; +\infty);$$ б) $$x \in (0; 8);$$ в) $$x \in (0; \sqrt{2});$$ г) $$x \in [\sqrt{10}; +\infty).$$