Упр.17.8 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$2^{\log_2(x^2-4)}=2^1$$; б) $$\left(\frac{1}{2}\right)^{\log_{\frac{1}{2}}(x^2-9x+21)}=1$$; в) $$9^{\log_9(x^2-5)}=3^1$$; г) $$(0{,}3)^{\log_{0{,}3}(x^2+x+1)}=2$$

а) $$2^{\log_2(x^2-4)}=21$$

По свойству логарифма и степени:

$$x^2-4=21$$

$$x^2=25$$

$$x=\pm 5$$

Проверка ОДЗ: $$x^2-4>0$$, при $$x=\pm 5$$ условие выполняется.

б) $$\left(\frac12\right)^{\log_{1/2}(x^2-9x+21)}=1$$

Тогда

$$x^2-9x+21=1$$

$$x^2-9x+20=0$$

$$D=9^2-4\cdot 20=81-80=1$$

$$x_{1,2}=\frac{9\pm 1}{2}$$

$$x_1=4,\quad x_2=5$$

Проверка ОДЗ: $$x^2-9x+21>0$$, оба корня подходят.

в) $$9^{\log_9(x^2-5)}=31$$

Следовательно,

$$x^2-5=31$$

$$x^2=36$$

$$x=\pm 6$$

Проверка ОДЗ: $$x^2-5>0$$, при $$x=\pm 6$$ условие выполняется.

г) $$(0{,}3)^{\log_{0{,}3}(x^2+x+1)}=2$$

Тогда

$$x^2+x+1=2$$

$$x^2+x-1=0$$

$$D=1+4=5$$

$$x_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt5}{2}$$

Проверка ОДЗ: $$x^2+x+1>0$$ при всех $$x\in \mathbb{R}$$, значит оба корня подходят.

Ответ

а) $$x=\pm 5$$; б) $$x=4,\ 5$$; в) $$x=\pm 6$$; г) $$x=\frac{-1-\sqrt5}{2},\ \frac{-1+\sqrt5}{2}$$.