Упр.17.7 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. 17.7. Решите уравнение:
   а) $$\log_{\frac{1}{2}}(7x^2-200)=\log_{\frac{1}{2}}(50x);$$
   б) $$\log_{0,3}(-x^2+5x+7)=\log_{0,3}(10x-7);$$
   в) $$\lg(x^2-8)-\lg(2-9x);$$
   г) $$\log_{0,2}(-x^2+4x+5)=\log_{0,2}(-x-31).$$

а) Так как основания логарифмов одинаковые и $$\frac12 \ne 1,$$ то приравниваем аргументы:

$$7x^2-200=50x.$$

$$7x^2-50x-200=0.$$

$$D=50^2+4\cdot 7\cdot 200=2500+5600=8100,$$

$$x_{1,2}=\frac{50\pm 90}{14}.$$

Получаем:

$$x_1=-\frac{20}{7}, \qquad x_2=10.$$

Проверим ОДЗ: $$50x>0 \Rightarrow x>0.$$

Подходит только $$x=10.$$

б) Приравниваем аргументы:

$$-x^2+5x+7=10x-7.$$

$$x^2+5x-14=0.$$

$$D=5^2+4\cdot 14=25+56=81,$$

$$x_{1,2}=\frac{-5\pm 9}{2}.$$

Тогда

$$x_1=-7, \qquad x_2=2.$$

ОДЗ: $$10x-7>0 \Rightarrow x>0{,}7.$$

Подходит только $$x=2.$$

в) Используем свойство логарифмов:

$$\lg(x^2-8)-\lg(2-9x)=0 \Rightarrow \lg\frac{x^2-8}{2-9x}=0,$$

значит

$$x^2-8=2-9x.$$

$$x^2+9x-10=0.$$

$$D=9^2+4\cdot 10=81+40=121,$$

$$x_{1,2}=\frac{-9\pm 11}{2}.$$

Получаем:

$$x_1=-10, \qquad x_2=1.$$

ОДЗ: $$x^2-8>0,\quad 2-9x>0.$$

Из них подходит только $$x=-10.$$

г) Приравниваем аргументы:

$$-x^2+4x+5=-x-31.$$

$$x^2-5x-36=0.$$

$$D=5^2+4\cdot 36=25+144=169,$$

$$x_{1,2}=\frac{5\pm 13}{2}.$$

Тогда

$$x_1=-4, \qquad x_2=9.$$

ОДЗ:

$$-x^2+4x+5>0,\qquad -x-31>0.$$

Из второго неравенства получаем $$x<-31,$$ поэтому ни одно из найденных значений не подходит.

Ответ

а) $$10$$; б) $$2$$; в) $$-10$$; г) корней нет.