Упр.17.5 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) $$\log_{0,1}(x^2+4x-20)=0$$; б) $$\log_{\frac{1}{7}}(x^2+x-5)=-1$$; в) $$\log_{7}(x^2-12x+36)=0$$; г) $$\log_{\frac{1}{3}}(x^2+3x-1)=-2$$.
а) $$\log_{0{,}1}(x^2+4x-20)=0.$$
Так как $$\log_a 1=0,$$ то
$$x^2+4x-20=1.$$
Получаем квадратное уравнение:
$$x^2+4x-21=0.$$
$$D=4^2-4\cdot 1\cdot(-21)=16+84=100.$$
$$x_{1,2}=\frac{-4\pm 10}{2}.$$
$$x_1=-7,\quad x_2=3.$$
Проверка области определения: $$x^2+4x-20>0.$$ Оба корня подходят.
б) $$\log_{\frac17}(x^2+x-5)=-1.$$
По определению логарифма:
$$x^2+x-5=\left(\frac17\right)^{-1}=7.$$
$$x^2+x-12=0.$$
$$D=1^2-4\cdot 1\cdot(-12)=1+48=49.$$
$$x_{1,2}=\frac{-1\pm 7}{2}.$$
$$x_1=-4,\quad x_2=3.$$
Оба корня удовлетворяют ОДЗ: $$x^2+x-5>0.$$
в) $$\log_7(x^2-12x+36)=0.$$
Так как $$\log_a 1=0,$$ то
$$x^2-12x+36=1.$$
$$x^2-12x+35=0.$$
$$D=12^2-4\cdot 35=144-140=4.$$
$$x_{1,2}=\frac{12\pm 2}{2}.$$
$$x_1=5,\quad x_2=7.$$
Оба корня подходят.
г) $$\log_{\frac13}(x^2+3x-1)=-2.$$
По определению логарифма:
$$x^2+3x-1=\left(\frac13\right)^{-2}=9.$$
$$x^2+3x-10=0.$$
$$D=3^2-4\cdot 1\cdot(-10)=9+40=49.$$
$$x_{1,2}=\frac{-3\pm 7}{2}.$$
$$x_1=-5,\quad x_2=2.$$
Оба корня удовлетворяют ОДЗ: $$x^2+3x-1>0.$$
Ответ: а) $$-7,\ 3$$; б) $$-4,\ 3$$; в) $$5,\ 7$$; г) $$-5,\ 2$$.
