Упр.17.44 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Преобразуем выражение:

$$\log_2^2(2-x)+2{,}5\log_2\frac{x^2-4x+4}{3x-1}=6-10\log_{16}(3x-1).$$

Так как $$x^2-4x+4=(2-x)^2,$$ а $$\log_{16}(3x-1)=\frac14\log_2(3x-1),$$ получаем

$$\log_2^2(2-x)+2{,}5\log_2\frac{(2-x)^2}{3x-1}=6-2{,}5\log_2(3x-1).$$

Тогда

$$\log_2^2(2-x)+2{,}5\log_2(2-x)^2=6,$$

$$\log_2^2(2-x)+5\log_2(2-x)-6=0.$$

Пусть $$y=\log_2(2-x).$$ Тогда

$$y^2+5y-6=0,$$

$$D=5^2+4\cdot 6=49,$$

$$y_1=\frac{-5-7}{2}=-6,\qquad y_2=\frac{-5+7}{2}=1.$$

1) Если $$\log_2(2-x)=-6,$$ то

$$2-x=2^{-6}=\frac1{64},$$

$$x=2-\frac1{64}=\frac{127}{64}.$$

2) Если $$\log_2(2-x)=1,$$ то

$$2-x=2,$$

$$x=0.$$

Проверим область допустимых значений:

$$2-x>0,\qquad 3x-1>0,$$

откуда $$x<2$$ и $$x>\frac13.$$

Подходит только $$x=\frac{127}{64}.$$

б) Преобразуем выражение:

$$\log_3^2(6-x)-\log_{1/3}(x+10)^4-4\log_3(x+10)(x^2-12x+36)=9.$$

Так как $$\log_{1/3}(x+10)^4=-4\log_3(x+10),$$ а $$x^2-12x+36=(6-x)^2,$$ получаем

$$\log_3^2(6-x)+4\log_3(x+10)-4\log_3(x+10)(6-x)^2=9.$$

Далее

$$\log_3^2(6-x)+4\log_3\frac{1}{(6-x)^2}=9,$$

$$\log_3^2(6-x)-8\log_3(6-x)-9=0.$$

Пусть $$y=\log_3(6-x).$$ Тогда

$$y^2-8y-9=0,$$

$$D=8^2+4\cdot 9=100,$$

$$y_1=\frac{8-10}{2}=-1,\qquad y_2=\frac{8+10}{2}=9.$$

1) Если $$\log_3(6-x)=-1,$$ то

$$6-x=3^{-1}=\frac13,$$

$$x=6-\frac13=\frac{17}{3}.$$

2) Если $$\log_3(6-x)=9,$$ то

$$6-x=3^9,$$

$$x=6-3^9.$$

Проверим ОДЗ:

$$6-x>0,\qquad x+10>0,$$

то есть $$x<6$$ и $$x>-10.$$

Подходит только $$x=\frac{17}{3}.$$

Ответ: а) $$\frac{127}{64}$$; б) $$\frac{17}{3}$$.