Упр.17.43 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение: $$\log_x\left(3x-\sqrt{18}\right)+\log_{x^2}\left(6+x\sqrt{72}+3x^2\right)=\frac{\lg_{27}\left(x^2\right)}{\lg x^2}.$$

ОДЗ: $$x>0,\quad x\ne 1,\quad x\ne \sqrt2,\quad 3x-\sqrt{18}>0,\quad 6+x\sqrt{72}+3x^2>0.$$

Упростим выражения под логарифмами:

$$3x-\sqrt{18}=3(x-\sqrt2),$$

$$6+x\sqrt{72}+3x^2=6+6x\sqrt2+3x^2=3(x+\sqrt2)^2.$$

Тогда

$$\log_x(3x-\sqrt{18})+\log_{x^2}(6+x\sqrt{72}+3x^2)=\log_x\bigl(3(x-\sqrt2)\bigr)+\log_{x^2}\bigl(3(x+\sqrt2)^2\bigr).$$

Переходим к десятичным логарифмам:

$$\log_x A=\frac{\lg A}{\lg x},\qquad \log_{x^2} B=\frac{\lg B}{\lg x^2}=\frac{\lg B}{2\lg x}.$$

Получаем

$$\frac{\lg\bigl(3(x-\sqrt2)\bigr)}{\lg x}+\frac{\lg\bigl(3(x+\sqrt2)^2\bigr)}{2\lg x}=\frac{\lg(27x^2)}{\lg x^2}=\frac{\lg(27x^2)}{2\lg x}.$$

Умножим на $$2\lg x$$:

$$2\lg\bigl(3(x-\sqrt2)\bigr)+\lg\bigl(3(x+\sqrt2)^2\bigr)=\lg(27x^2).$$

Раскроем логарифмы:

$$2\bigl(\lg 3+\lg(x-\sqrt2)\bigr)+\bigl(\lg 3+2\lg(x+\sqrt2)\bigr)=\lg 27+2\lg x.$$

Так как $$\lg 27=3\lg 3,$$ то

$$3\lg 3+2\lg(x-\sqrt2)+2\lg(x+\sqrt2)=3\lg 3+2\lg x.$$

Сокращаем и объединяем логарифмы:

$$2\lg\bigl((x-\sqrt2)(x+\sqrt2)\bigr)=2\lg x,$$

$$\lg(x^2-2)=\lg x.$$

Следовательно,

$$x^2-2=x,$$

$$x^2-x-2=0,$$

$$\bigl(x-2\bigr)\bigl(x+1\bigr)=0.$$

Отсюда $$x=2$$ или $$x=-1.$$

С учётом ОДЗ подходит только $$x=2.$$

Ответ

$$2$$