Упр.17.42 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Из первого уравнения:

$$2^x \cdot 2^y = 16 \Rightarrow 2^{x+y} = 2^4 \Rightarrow x+y=4.$$

Из второго уравнения:

$$\log_3 x+\log_3 y=1 \Rightarrow \log_3(xy)=\log_3 3 \Rightarrow xy=3.$$

Тогда

$$\begin{cases} x+y=4,\\ xy=3. \end{cases}$$

Подставим $$y=4-x$$:

$$x(4-x)=3 \Rightarrow x^2-4x+3=0 \Rightarrow (x-1)(x-3)=0.$$

Отсюда $$x=1$$ или $$x=3$$. Тогда соответственно $$y=3$$ или $$y=1$$.

Ответ: $$(1;3),\ (3;1).$$

б) Из первого уравнения:

$$\left(\frac13\right)^{2x}\cdot \left(\frac13\right)^{-y}=\frac1{27}=\left(\frac13\right)^3,$$

значит

$$2x-y=3,\qquad y=2x-3.$$

Из второго уравнения:

$$\log_2(2x)-\log_2 y=2 \Rightarrow \log_2\frac{2x}{y}=2 \Rightarrow \frac{2x}{y}=4 \Rightarrow x=2y.$$

Подставим в уравнение $$y=2x-3$$:

$$y=2(2y)-3 \Rightarrow y=4y-3 \Rightarrow 3y=3 \Rightarrow y=1,$$

тогда $$x=2.$$

Ответ: $$(2;1).$$

в) Из первого уравнения:

$$9^x\cdot 3^y=81 \Rightarrow 3^{2x}\cdot 3^y=3^4 \Rightarrow 2x+y=4,$$

то есть

$$y=4-2x.$$

Из второго уравнения:

$$\log_2 x+\log_2 y=1 \Rightarrow \log_2(xy)=\log_2 2 \Rightarrow xy=2.$$

Подставим:

$$x(4-2x)=2 \Rightarrow 2x^2-4x+2=0 \Rightarrow x^2-2x+1=0 \Rightarrow (x-1)^2=0.$$

Значит, $$x=1,$$ тогда $$y=2.$$

Ответ: $$(1;2).$$

г) Из первого уравнения:

$$\left(\frac12\right)^x\cdot (\sqrt2)^y=\log_9 3.$$

Так как $$\log_9 3=\frac12,$$ а $$\sqrt2=2^{1/2},$$ получаем

$$2^{-x}\cdot 2^{y/2}=2^{-1},$$

откуда

$$-\!x+\frac y2=-1 \Rightarrow x=\frac y2+1.$$

Из второго уравнения:

$$\log_4 y-\log_4 x=1 \Rightarrow \log_4\frac{y}{x}=1 \Rightarrow \frac{y}{x}=4 \Rightarrow y=4x.$$

Тогда

$$x=\frac{4x}{2}+1=2x+1 \Rightarrow x=-1.$$

Но по области определения $$x>0,\ y>0,$$ значит полученное значение не подходит.

Ответ: решений нет.