Упр.17.41 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) система
$$\begin{cases} \log_{5}(x+y)=1,\\ \log_{6}(x)+\log_{6}(y)=1; \end{cases}$$
б) система
$$\begin{cases} \log_{0,5}(x+2y)=\log_{0,5}(3x+y),\\ \log_{7}(x^2-y)=\log_{7}(x); \end{cases}$$
в) система
$$\begin{cases} \log_{9}(x-y)=\frac{1}{2},\\ \log_{64}(x)-\log_{64}(y)=\frac{1}{3}; \end{cases}$$
г) система
$$\begin{cases} \log_{\frac{1}{3}}(3x-y)=\log_{\frac{1}{3}}(x+4),\\ \log_{9}(x^2+x-y)=\log_{9}(x^2). \end{cases}$$
а) Из первого уравнения получаем:
$$\log_5(x+y)=1 \Rightarrow x+y=5.$$
Из второго уравнения:
$$\log_6 x+\log_6 y=1 \Rightarrow \log_6(xy)=\log_6 6 \Rightarrow xy=6.$$
Тогда
$$y=5-x,$$
$$x(5-x)=6,$$
$$x^2-5x+6=0,$$
$$(x-2)(x-3)=0.$$
Отсюда $$x=2$$ или $$x=3.$$
Тогда соответственно $$y=3$$ или $$y=2.$$
Проверка области определения: $$x>0,\ y>0.$$ Оба решения подходят.
Ответ: $$(2;3),\ (3;2).$$
б) Из первого уравнения:
$$\log_{0,5}(x+2y)=\log_{0,5}(3x+y) \Rightarrow x+2y=3x+y,$$
откуда
$$y=2x.$$
Из второго уравнения:
$$\log_7(x^2-y)=\log_7 x \Rightarrow x^2-y=x.$$
Подставим $$y=2x$$:
$$x^2-2x=x,$$
$$x^2-3x=0,$$
$$x(x-3)=0.$$
С учётом области определения $$x>0$$ получаем $$x=3,$$ тогда $$y=6.$$
Ответ: $$(3;6).$$
в) Из первого уравнения:
$$\log_9(x-y)=\frac12 \Rightarrow x-y=9^{1/2}=3,$$
то есть
$$y=x-3.$$
Из второго уравнения:
$$\log_{64}x-\log_{64}y=\frac13 \Rightarrow \log_{64}\frac{x}{y}=\frac13,$$
значит
$$\frac{x}{y}=64^{1/3}=4,$$
то есть
$$x=4y.$$
Подставим в $$y=x-3$$:
$$4y-y=3,$$
$$3y=3,$$
$$y=1,\quad x=4.$$
Проверка области определения: $$x>0,\ y>0,\ x>y.$$ Решение подходит.
Ответ: $$(4;1).$$
г) Из первого уравнения:
$$\log_{1/3}(3x-y)=\log_{1/3}(x+4) \Rightarrow 3x-y=x+4,$$
откуда
$$y=2x-4.$$
Из второго уравнения:
$$\log_9(x^2+x-y)=\log_9 x^2 \Rightarrow x^2+x-y=x^2,$$
значит
$$x-y=0,\quad x=y.$$
Тогда
$$x=2x-4,$$
$$x=4,\quad y=4.$$
Проверка области определения: $$x+4>0,\ 3x-y>0,\ x^2>0.$$ При $$x=4,\ y=4$$ все условия выполнены.
Ответ: $$(4;4).$$
