Упр.17.40 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. 17.40. Решите систему уравнений:
   а) $$\begin{cases}\log_2(x^2+3x-2)-\log_2(y)=1,\\3x-y=2;\end{cases}$$
   б) $$\begin{cases}2x+y=7,\\\log_3(x^2+4x-3)-\log_3(y)=1.\end{cases}$$

а) Из второго уравнения выразим $$y$$:

$$3x-y=2 \\\\ y=3x-2.$$

Подставим в первое уравнение:

$$\log_2(x^2+3x-2)-\log_2(3x-2)=1.$$

Объединим логарифмы:

$$\log_2\frac{x^2+3x-2}{3x-2}=1.$$

Тогда

$$\frac{x^2+3x-2}{3x-2}=2,$$

откуда

$$x^2+3x-2=6x-4,$$

$$x^2-3x+2=0,$$

$$(x-1)(x-2)=0.$$

Следовательно, $$x=1$$ или $$x=2$$.

Найдём $$y$$:

$$x=1 \Rightarrow y=3\cdot1-2=1,$$

$$x=2 \Rightarrow y=3\cdot2-2=4.$$

Проверка области определения: $$3x-2>0$$ и $$x^2+3x-2>0$$ выполняются для обоих найденных решений.

Ответ: $$(1;1),\ (2;4).$$

Ход решения

б) Из первого уравнения выразим $$y$$:

$$2x+y=7 \\\\ y=7-2x.$$

Подставим во второе уравнение:

$$\log_3(x^2+4x-3)-\log_3(7-2x)=1.$$

Объединим логарифмы:

$$\log_3\frac{x^2+4x-3}{7-2x}=1.$$

Тогда

$$\frac{x^2+4x-3}{7-2x}=3,$$

откуда

$$x^2+4x-3=21-6x,$$

$$x^2+10x-24=0,$$

$$D=10^2-4\cdot1\cdot(-24)=196.$$

Тогда

$$x_1=\frac{-10-14}{2}=-12,\qquad x_2=\frac{-10+14}{2}=2.$$

Найдём соответствующие значения $$y$$:

$$x=-12 \Rightarrow y=7-2\cdot(-12)=31,$$

$$x=2 \Rightarrow y=7-2\cdot2=3.$$

Проверка области определения: $$7-2x>0$$ и $$x^2+4x-3>0$$ выполняются для обоих решений.

Ответ: $$(-12;31),\ (2;3).$$