Упр.17.4 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$\log_{\cos x}\frac{\sqrt{3}}{2}=1$$; в) $$\log_{\sin x}\frac{1}{2}=1$$; б) $$\log_{\cos x}\frac{1}{2}=2$$; г) $$\log_{\sin x}\frac{3}{4}=2$$.

Используем определение логарифма.

Ход решения

1. $$\log_{\cos x}\frac{\sqrt{3}}{2}=1$$

   Тогда

   $$\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

   Отсюда

   $$x=\pm \arccos\frac{\sqrt{3}}{2}+2\pi n=\pm \frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

2. $$\log_{\cos x}\frac{1}{2}=2$$

   Тогда

   $$\cos^2 x=\frac{1}{2}.$$

   Следовательно,

   $$\cos x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

   Значит,

   $$x=\pm \frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

3. $$\log_{\sin x}\frac{1}{2}=1$$

   Тогда

   $$\sin x=\frac{1}{2}.$$

   Общее решение:

   $$x=(-1)^n\arcsin\frac{1}{2}+\pi n=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

4. $$\log_{\sin x}\frac{3}{4}=2$$

   Тогда

   $$\sin^2 x=\frac{3}{4}.$$

   Следовательно,

   $$\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

   Общее решение:

   $$x=(-1)^n\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2}+\pi n=(-1)^n\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Ответ

а) $$x=\pm \frac{\pi}{6}+2\pi n$$; б) $$x=\pm \frac{\pi}{4}+2\pi n$$; в) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n$$; г) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{3}+\pi n$$, $$n\in\mathbb{Z}$$.