Упр.17.39 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
а) $$x^2\log_{36}(5x^2-2x-3)-x\log_{\frac{1}{6}}\sqrt{5x^2-2x-3}=x^2+x$$
б) $$x^2\log_2\left(\frac{3+x}{10}\right)-x^2\log_{\frac{1}{2}}(2+3x)=x^2-4+2\log_{\sqrt{2}}\left(\frac{3x^2+11x+6}{10}\right)$$
а) Обозначим $$y=\log_6(5x^2-2x-3).$$ Тогда
$$\log_{\frac16}\sqrt{5x^2-2x-3}=-\frac12\log_6(5x^2-2x-3)=-\frac12y.$$
Уравнение принимает вид
$$x^2y-\frac{x}{2}(-y)=x^2+x,$$
то есть
$$\frac12x^2y+\frac12xy=x^2+x.$$
Перенесём всё в одну сторону и вынесем общий множитель:
$$\frac12x^2y-x^2+\frac12xy-x=0,$$
$$x(x+1)(y-2)=0.$$
Отсюда:
- $$x=0,$$
- $$x=-1,$$
- $$y=2.$$
Если $$y=2,$$ то
$$\log_6(5x^2-2x-3)=2,$$
$$5x^2-2x-3=36,$$
$$5x^2-2x-39=0.$$
$$D=(-2)^2-4\cdot 5\cdot(-39)=4+780=784,$$
$$x=\frac{2\pm 28}{10},$$
$$x_1=-\frac{13}{5},\quad x_2=3.$$
Проверим область допустимых значений:
$$5x^2-2x-3>0.$$
Корни этого неравенства: $$x=-\frac35$$ и $$x=1,$$ значит
$$x<-\frac35 \quad \text{или} \quad x>1.$$
Число $$x=0$$ не подходит, а $$x=-1,\; -\frac{13}{5},\; 3$$ удовлетворяют ОДЗ.
б) Преобразуем логарифм:
$$\log_2\frac{3+x}{10}-\log_{\frac12}(2+3x)=\log_2\frac{3+x}{10}+\log_2(2+3x).$$
Тогда
$$x^2\log_2\frac{3+x}{10}-x^2\log_{\frac12}(2+3x)=x^2\log_2\frac{(3+x)(2+3x)}{10}.$$
Так как
$$\frac{(3+x)(2+3x)}{10}=\frac{3x^2+11x+6}{10},$$
получаем
$$x^2\log_2\frac{3x^2+11x+6}{10}=x^2-4+2\log_{\sqrt2}\frac{3x^2+11x+6}{10}.$$
Пусть
$$y=\log_2\frac{3x^2+11x+6}{10}.$$
Тогда
$$x^2y=x^2-4+4y,$$
$$x^2y-x^2-4y+4=0,$$
$$x^2(y-1)-4(y-1)=0,$$
$$(x^2-4)(y-1)=0,$$
$$(x-2)(x+2)(y-1)=0.$$
Отсюда:
- $$x=2,$$
- $$x=-2,$$
- $$y=1.$$
Если $$y=1,$$ то
$$\log_2\frac{3x^2+11x+6}{10}=1,$$
$$\frac{3x^2+11x+6}{10}=2,$$
$$3x^2+11x-14=0.$$
$$D=11^2-4\cdot 3\cdot(-14)=121+168=289,$$
$$x=\frac{-11\pm 17}{6},$$
$$x_1=-\frac{14}{3},\quad x_2=1.$$
Проверим ОДЗ:
$$3+x>0,\quad 2+3x>0,$$
то есть
$$x>-3,\quad x>-\frac23.$$
Следовательно, подходят только $$x=1$$ и $$x=2.$$
Ответ
а) $$-1,\; -\frac{13}{5},\; 3$$; б) $$1,\; 2$$.
