Упр.17.38 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\log_9(3^x+2x-20)=x-x\log_9 3.$$

Так как $$\log_9 3=\frac12,$$ получаем

$$x-x\log_9 3=x-\frac{x}{2}=\frac{x}{2}.$$

Тогда

$$\log_9(3^x+2x-20)=\frac{x}{2},$$

откуда

$$3^x+2x-20=9^{x/2}=(3^2)^{x/2}=3^x.$$

Следовательно,

$$2x-20=0,$$

$$x=10.$$

Ответ: $$10.$$

б) $$0{,}4^{\lg^2 x-1}=6{,}25^{-2-\lg x^2}.$$

Преобразуем основания:

$$0{,}4=\frac25,\qquad 6{,}25=\frac{25}{4}=\left(\frac52\right)^2.$$

Тогда

$$\left(\frac25\right)^{\lg^2 x-1}=\left(\frac52\right)^{-4-4\lg x}.$$

Так как $$\frac25=\left(\frac52\right)^{-1},$$ то

$$\left(\frac52\right)^{1-\lg^2 x}=\left(\frac52\right)^{-4-4\lg x}.$$

Приравниваем показатели:

$$1-\lg^2 x=-4-4\lg x.$$

Переносим всё в одну сторону:

$$\lg^2 x-4\lg x-5=0.$$

Обозначим $$t=\lg x.$$ Тогда

$$t^2-4t-5=0,$$

$$D=16+20=36,$$

$$t_1=\frac{4+6}{2}=5,\qquad t_2=\frac{4-6}{2}=-1.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\lg x=5 \Rightarrow x=10^5,$$

$$\lg x=-1 \Rightarrow x=10^{-1}=0{,}1.$$

Ответ: $$0{,}1;\ 100000.$$