Упр.17.37 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$\log_5(6-5x)=1-x$$; б) $$\log_3\left(4\cdot3^{x-1}-1\right)=2x-1$$.

а) $$\log_5(6-5^x)=1-x.$$

Представим правую часть как логарифм по основанию $$5$$:

$$1-x=\log_5 5^{\,1-x}.$$

Тогда

$$\log_5(6-5^x)=\log_5 5^{\,1-x},$$

откуда

$$6-5^x=5^{\,1-x}=\frac{5}{5^x}.$$

Обозначим $$t=5^x,\quad t>0.$$ Тогда получаем

$$6-t=\frac{5}{t},$$

$$6t-t^2=5,$$

$$t^2-6t+5=0.$$

$$D=36-20=16,$$

$$t_{1,2}=\frac{6\pm4}{2}.$$

Следовательно,

$$t_1=5,\quad t_2=1.$$

Возвращаясь к переменной $$x$$, имеем:

$$5^x=5 \Rightarrow x=1,$$

$$5^x=1 \Rightarrow x=0.$$

Проверка области определения: $$6-5^x>0,$$ для найденных значений выполняется.

б) $$\log_3(4\cdot 3^{x-1}-1)=2x-1.$$

Запишем правую часть как логарифм:

$$2x-1=\log_3 3^{\,2x-1}=\log_3 \frac{3^{2x}}{3}.$$

Тогда

$$\log_3(4\cdot 3^{x-1}-1)=\log_3 \frac{3^{2x}}{3},$$

откуда

$$4\cdot 3^{x-1}-1=\frac{3^{2x}}{3}.$$

Умножим на $$3$$:

$$4\cdot 3^x-3^{2x}-3=0.$$

Обозначим $$t=3^x,\quad t>0.$$ Тогда

$$t^2-4t+3=0.$$

$$D=16-12=4,$$

$$t_{1,2}=\frac{4\pm2}{2}.$$

Получаем

$$t_1=3,\quad t_2=1.$$

Тогда

$$3^x=3 \Rightarrow x=1,$$

$$3^x=1 \Rightarrow x=0.$$

Проверка области определения: $$4\cdot 3^{x-1}-1>0,$$ для найденных значений выполняется.

Ответ: а) $$x=0,\;1$$; б) $$x=0,\;1$$.