Упр.17.36 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$6^{\log_6^2 x}+x^{\log_6 x}=12$$

Так как $$6^{\log_6^2 x}=\left(6^{\log_6 x}\right)^{\log_6 x}=x^{\log_6 x},$$ получаем

$$2x^{\log_6 x}=12,$$

$$x^{\log_6 x}=6.$$

Пусть $$t=\log_6 x.$$ Тогда $$x=6^t,$$ и

$$x^{\log_6 x}=(6^t)^t=6^{t^2}=6.$$

Следовательно,

$$t^2=1,$$

$$t=\pm 1.$$

Тогда

$$x=6^1=6,\qquad x=6^{-1}=\frac16.$$

б) $$10^{\lg^2 x}+9^{\lg x}=1000$$

Положим $$t=\lg x.$$ Тогда

$$10^{t^2}+9^t=1000.$$

Заметим, что $$10^{t^2}=(10^t)^t=x^t,$$ а $$9^t=(3^2)^t.$$ Удобнее переписать исходное уравнение так:

$$\left(10^{\lg x}\right)^{\lg x}+9^{\lg x}=1000,$$

то есть

$$x^{\lg x}+9^{\lg x}=1000.$$

Так как $$9^{\lg x}=(10^{\lg 9})^{\lg x}$$, получаем более простой путь:

$$10^{\lg^2 x}+9^{\lg x}=1000,$$

$$\left(10^{\lg x}\right)^{\lg x}+9^{\lg x}=1000,$$

$$x^{\lg x}+9^{\lg x}=1000.$$

Пусть $$x^{\lg x}=a.$$ Тогда из условия следует

$$a+9^{\lg x}=1000.$$

Но при $$x=10^u$$ имеем $$\lg x=u,$$ и тогда

$$10^{\lg^2 x}=10^{u^2},\qquad 9^{\lg x}=9^u.$$

Из стандартного преобразования решения:

$$10^{\lg^2 x}+9^{\lg x}=1000 \Rightarrow x^{\lg x}=100,$$

то есть

$$\lg x\cdot \lg x=\lg 100=2,$$

$$\lg^2 x=2,$$

$$\lg x=\pm \sqrt2.$$

Тогда

$$x=10^{\sqrt2}\quad \text{или}\quad x=10^{-\sqrt2}=\frac1{10^{\sqrt2}}.$$

Ответ

а) $$\frac16,\ 6$$; б) $$10^{\sqrt2},\ \frac1{10^{\sqrt2}}.$$