Упр.17.35 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$10x^{\lg x}+x^{-\lg x}=11$$;

б) $$x^{\log_2 x}+3^2x^{-\log_2 x}=3^{2+\log_3 2}$$.

а) Обозначим $$y=x^{\lg x}.$$ Тогда $$x^{-\lg x}=\frac{1}{y},$$ и уравнение принимает вид

$$10y+\frac{1}{y}=11.$$

Умножим на $$y$$:

$$10y^2-11y+1=0.$$

$$D=11^2-4\cdot 10\cdot 1=121-40=81,$$

$$y_{1,2}=\frac{11\pm 9}{20}.$$

Получаем:

$$y_1=1,\qquad y_2=\frac{1}{10}.$$

1) Если $$x^{\lg x}=1,$$ то

$$\lg x\cdot \lg x=\lg 1=0,$$

$$\lg x=0,$$

$$x=1.$$

2) Если $$x^{\lg x}=\frac{1}{10},$$ то

$$\lg x\cdot \lg x=\lg \frac{1}{10}=-1,$$

что невозможно, так как $$\lg^2 x\ge 0.$$

Значит, в пункте а) $$x=1.$$

б) Обозначим $$y=x^{\log_2 x}.$$ Тогда $$x^{-\log_2 x}=\frac{1}{y},$$ и уравнение перепишется так:

$$y+\frac{32}{y}=3^{2+\log_3 2}=3^2\cdot 3^{\log_3 2}=9\cdot 2=18.$$

Умножим на $$y$$:

$$y^2-18y+32=0.$$

$$D=18^2-4\cdot 32=324-128=196,$$

$$y_{1,2}=\frac{18\pm 14}{2}.$$

Получаем:

$$y_1=16,\qquad y_2=2.$$

1) Если $$x^{\log_2 x}=16,$$ то

$$\log_2 x\cdot \log_2 x=\log_2 16=4,$$

$$\log_2 x=\pm 2,$$

откуда

$$x=4 \quad \text{или} \quad x=\frac14.$$

2) Если $$x^{\log_2 x}=2,$$ то

$$\log_2 x\cdot \log_2 x=\log_2 2=1,$$

$$\log_2 x=\pm 1,$$

откуда

$$x=2 \quad \text{или} \quad x=\frac12.$$

Итак, в пункте б) $$x=\frac14,\ \frac12,\ 2,\ 4.$$

Ответ

а) $$1$$; б) $$\frac14,\ \frac12,\ 2,\ 4.$$