Упр.17.34 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$x^{\lg x-2}=1000$$; б) $$x^{\log_{0,5}(x)-2}=0,125$$; в) $$x^{5+\log_2(x)}=\frac{1}{16}$$; г) $$x^{\log_{\frac{1}{3}}(x)-4}=27$$.

а) Пусть $$t=\lg x.$$ Тогда $$x^{\lg x-2}=1000$$ можно переписать так:

$$\lg x\cdot(\lg x-2)=\lg 1000=3.$$

Получаем квадратное уравнение:

$$t(t-2)=3,$$

$$t^2-2t-3=0,$$

$$t_1=-1,\quad t_2=3.$$

Тогда

$$\lg x=-1 \Rightarrow x=10^{-1}=0{,}1,$$

$$\lg x=3 \Rightarrow x=10^3=1000.$$

б) Пусть $$t=\log_{0{,}5}x.$$ Тогда

$$x^{\log_{0{,}5}x-2}=0{,}125$$

даёт

$$\log_{0{,}5}x\cdot(\log_{0{,}5}x-2)=\log_{0{,}5}0{,}125=\log_{0{,}5}(0{,}5)^3=3.$$

Следовательно,

$$t(t-2)=3,$$

$$t^2-2t-3=0,$$

$$t_1=-1,\quad t_2=3.$$

Тогда

$$\log_{0{,}5}x=-1 \Rightarrow x=(0{,}5)^{-1}=2,$$

$$\log_{0{,}5}x=3 \Rightarrow x=(0{,}5)^3=0{,}125.$$

в) Пусть $$t=\log_2 x.$$ Тогда

$$x^{5+\log_2 x}=\frac{1}{16}$$

преобразуется к виду

$$\log_2 x\cdot(5+\log_2 x)=\log_2\frac{1}{16}=\log_2 2^{-4}=-4.$$

Получаем:

$$t(t+5)=-4,$$

$$t^2+5t+4=0,$$

$$t_1=-4,\quad t_2=-1.$$

Тогда

$$\log_2 x=-4 \Rightarrow x=2^{-4}=\frac{1}{16},$$

$$\log_2 x=-1 \Rightarrow x=2^{-1}=\frac{1}{2}.$$

г) Пусть $$t=\log_{1/3}x.$$ Тогда

$$x^{\log_{1/3}x-4}=27$$

даёт

$$\log_{1/3}x\cdot(\log_{1/3}x-4)=\log_{1/3}27=\log_{1/3}\left(\frac13\right)^{-3}=-3.$$

Следовательно,

$$t(t-4)=-3,$$

$$t^2-4t+3=0,$$

$$t_1=1,\quad t_2=3.$$

Тогда

$$\log_{1/3}x=1 \Rightarrow x=\left(\frac13\right)^1=\frac13,$$

$$\log_{1/3}x=3 \Rightarrow x=\left(\frac13\right)^3=\frac{1}{27}.$$

Ответ

а) $$0{,}1;\ 1000$$; б) $$2;\ 0{,}125$$; в) $$\frac{1}{16};\ \frac{1}{2}$$; г) $$\frac{1}{27};\ \frac{1}{3}$$.