Упр.17.33 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$x^{\log_3(x)}=81$$; б) $$x^{\log_{0,5}(x)}=\frac{1}{16}$$; в) $$x^{\log_2(x)}=16$$; г) $$x^{\log_{\frac{1}{3}}(x)}=\frac{1}{81}$$.

а) $$x^{\log_3 x}=81$$

Возьмём логарифм по основанию $$3$$:

$$\log_3\left(x^{\log_3 x}\right)=\log_3 81$$

$$\log_3 x\cdot \log_3 x=\log_3 3^4$$

$$\left(\log_3 x\right)^2=4$$

$$\log_3 x=\pm 2$$

$$x=3^2=9,\qquad x=3^{-2}=\frac19$$

б) $$x^{\log_{0,5} x}=\frac1{16}$$

$$\log_{0,5}\left(x^{\log_{0,5} x}\right)=\log_{0,5}\frac1{16}$$

$$\left(\log_{0,5} x\right)^2=\log_{0,5}\left(\frac12\right)^4$$

$$\left(\log_{0,5} x\right)^2=4$$

$$\log_{0,5} x=\pm 2$$

$$x=\left(\frac12\right)^2=\frac14,\qquad x=\left(\frac12\right)^{-2}=4$$

в) $$x^{\log_2 x}=16$$

$$\log_2\left(x^{\log_2 x}\right)=\log_2 16$$

$$\left(\log_2 x\right)^2=\log_2 2^4$$

$$\left(\log_2 x\right)^2=4$$

$$\log_2 x=\pm 2$$

$$x=2^2=4,\qquad x=2^{-2}=\frac14$$

г) $$x^{\log_{1/3} x}=\frac1{81}$$

$$\log_{1/3}\left(x^{\log_{1/3} x}\right)=\log_{1/3}\frac1{81}$$

$$\left(\log_{1/3} x\right)^2=\log_{1/3}\left(\frac13\right)^4$$

$$\left(\log_{1/3} x\right)^2=4$$

$$\log_{1/3} x=\pm 2$$

$$x=\left(\frac13\right)^2=\frac19,\qquad x=\left(\frac13\right)^{-2}=9$$

Ответ

а) $$\frac19,\ 9$$; б) $$\frac14,\ 4$$; в) $$\frac14,\ 4$$; г) $$\frac19,\ 9$$.