Упр.17.32 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$1+\log_x\left(\frac{4-x}{10}\right)=(\lg x^2-1)\log_x 10$$;
   б) $$1+2\log_x 2\cdot\log_4(10-x)=\frac{2}{\log_4 x}$$.

а) Рассмотрим уравнение:

$$1+\log_x\frac{4-x}{10}=(\lg x^2-1)\cdot \log_x 10.$$

Так как $$\log_x 10=\frac{1}{\lg x},$$ а $$\lg x^2=2\lg x,$$ получаем

$$1+\log_x(4-x)-\log_x 10=(2\lg x-1)\cdot \frac{1}{\lg x}.$$

Переходим к десятичным логарифмам:

$$1+\frac{\lg(4-x)}{\lg x}-\frac{1}{\lg x}=\frac{2\lg x-1}{\lg x}.$$

Умножим на $$\lg x$$:

$$\lg x+\lg(4-x)-1=2\lg x-1.$$

Отсюда

$$\lg(4-x)=\lg x,$$

значит,

$$4-x=x,$$

$$2x=4,$$

$$x=2.$$

Проверка области допустимых значений: $$x>0,$$ $$x\neq 1,$$ $$x<4.$$ Значение $$x=2$$ подходит.

б) Рассмотрим уравнение:

$$1+2\log_x 2\cdot \log_4(10-x)=\frac{2}{\log_4 x}.$$

Переходим к основанию $$2$$:

$$\log_x 2=\frac{1}{\log_2 x}, \qquad \log_4(10-x)=\frac{\log_2(10-x)}{2}, \qquad \frac{2}{\log_4 x}=\frac{4}{\log_2 x}.$$

Тогда

$$1+2\cdot \frac{1}{\log_2 x}\cdot \frac{\log_2(10-x)}{2}=\frac{4}{\log_2 x}.$$

Упрощаем:

$$1+\frac{\log_2(10-x)}{\log_2 x}=\frac{4}{\log_2 x}.$$

Умножим на $$\log_2 x$$:

$$\log_2 x+\log_2(10-x)=4.$$

Тогда

$$\log_2\bigl(x(10-x)\bigr)=\log_2 16,$$

следовательно,

$$x(10-x)=16.$$

Получаем квадратное уравнение:

$$x^2-10x+16=0.$$

$$D=100-64=36,$$

$$x_{1,2}=\frac{10\pm 6}{2}.$$

Отсюда

$$x_1=2,\qquad x_2=8.$$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ: $$x>0,$$ $$x\neq 1,$$ $$x<10.$$

Ответ

а) $$2$$; б) $$2,\,8$$.